Resolva as equações diferenciais.
(3 x^2 y+y^3) d x+(x^3+3 x y^2) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(3x^2y + y^3),dx + (x^3 + 3xy^2),dy = 0
Isso é uma equação do tipo M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0. Vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial Psi(x,y) tal que Psix=M e Psiy=N.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
partial Mpartial y = partialpartial yl(3x^2y + y^3r) = 3x^2 + 3y^2,
partial Npartial x = partialpartial xl(x^3 + 3xy^2r) = 3x^2 + 3y^2
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos Psi(x,y) tal que
Psix(x,y) = M(x,y) = 3x^2y + y^3
Integramos em relação a x:
Psi(x,y) = integral (3x^2y + y^3),dx = y,x^3 + x,y^3 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora impomos
Psiy(x,y) = partialpartial yl(x^3y + x y^3 + h(y)r) = x^3 + 3xy^2 + h'(y)
e igualamos a N(x,y)=x^3+3xy^2. Assim
x^3 + 3xy^2 + h'(y) = x^3 + 3xy^2 Longrightarrow h'(y)=0 ;Longrightarrow; h(y)=constante

Resposta

A solução geral, dada de forma implícita, é
x^3y + x,y^3 = C,
onde C é uma constante arbitrária.

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