Resolva as equações diferenciais.
(y^2-1) d x+(y^3-y+2 x) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
l(y^2-1r),dx+l(y^3-y+2xr),dy=0
Aqui temos uma equação da forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0. Vamos identificar
M(x,y)=y^2-1, N(x,y)=y^3-y+2x
e verificar se é exata ou se precisamos de um fator integrante.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando
partial Mpartial y =2y, partial Npartial x =2
Como 2yneq2 em geral, a equação não é exata e precisamos buscar um fator integrante.

Passo 3

Testamos um fator integrante dependente só de y. O critério é
partial N/partial x-partial M/partial yM =2-2y,y^2-1, =-2(y-1)(y-1)(y+1) =-2y+1,
que depende apenas de y. Assim
mu(y) =exp!l(integral -tfrac2y+1,dyr) =expl(-2ln|y+1|r) =1(y+1)^2

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(y):
y^2-1(y+1)^2,dx +y^3-y+2x(y+1)^2,dy =0
Chamando
hat M(x,y)=y-1y+1, hat N(x,y)=y^3-y+2x(y+1)^2,
verificamos
partial hat Mpartial y =2(y+1)^2, partial hat Npartial x =2(y+1)^2,
logo agora a equação é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x =hat M(x,y)=y-1y+1
Integrando em x (tratando y como constante), obtemos
phi(x,y) =x;y-1y+1+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 6

Impondo partial phi/partial y=hat N(x,y), temos
partial phipartial y =xcdotddy!l(y-1y+1r)+h'(y) =xcdot2(y+1)^2+h'(y)
deve ser
hat N(x,y) =y^3-y+2x(y+1)^2 =y(y^2-1)(y+1)^2+2x(y+1)^2
Cancelando o termo com x, fica
h'(y)=y(y^2-1)(y+1)^2 =y^2-yy+1 =y-2+2y+1
Integrando,
h(y) =integrall(y-2+2y+1r)dy =y^22-2y+2ln|y+1|

Passo 7

Logo a função potencial completa é
phi(x,y) =x;y-1y+1 +y^22-2y+2ln|y+1|
A solução geral implícita da equação diferencial é
phi(x,y)=C,
isto é,
boxed x,y-1y+1 +y^22 -2y +2lnl|y+1r| =C

Resposta

x,y-1y+1 +y^22 -2y +2lnl|y+1r| =C

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