Resolva as equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Aqui temos uma equação da forma
. Vamos identificar
e verificar se é exata ou se precisamos de um fator integrante.
Passo 2
Verificamos a exatidão calculando
Como
em geral, a equação não é exata e precisamos buscar um fator integrante.
Passo 3
Testamos um fator integrante dependente só de
. O critério é
que depende apenas de
. Assim
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Chamando
verificamos
logo agora a equação é exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando em
(tratando
como constante), obtemos
onde
é uma função a determinar.
Passo 6
Impondo
, temos
deve ser
Cancelando o termo com
, fica
Integrando,
Passo 7
Logo a função potencial completa é
A solução geral implícita da equação diferencial é
isto é,