Resolva as equações diferenciais:
,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
e pede a solução geral
. Aqui não foi dada condição inicial, então vamos encontrar a família de soluções com constante arbitrária.
Passo 2
Vamos identificar a forma padrão de uma ED linear de primeira ordem:
No nosso caso temos
(constante) e
. A técnica mais direta é o fator integrante (integrating factor).
Passo 3
Explicando o fator integrante de forma didática: se multiplicarmos a equação por uma função
tal que
, então o lado esquerdo se torna a derivada do produto
. Em outras palavras, escolhemos
satisfazendo
logo
Isso transforma a equação em
que é fácil de integrar. É uma reescrita baseada na regra do produto da derivada:
.
Passo 4
Calcular o fator integrante para
:
Multiplicando a ED original por
obtemos
Pela regra do produto isso é justamente
Passo 5
Multiplicando toda a equação por
e simplificando o lado direito:
Passo 6
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra facilmente para
. No lado direito,
onde
é a constante de integração. Assim obtemos a relação
Passo 7
Breve comentário pedagógico (outra forma de ver a solução): a solução geral de uma ED linear é soma da solução geral da homogênea
com uma solução particular
. A homogênea
tem solução
. Para encontrar
para o lado
pode-se tentar
; substituindo obtém-se
, logo
. Assim
e a solução geral é
. (Este parágrafo serve só para aprendizagem; a derivação pelo fator integrante já nos deu a expressão integrada no passo anterior.)