Resolva as equações diferenciais:
y^{\prime}+2 y=2 e^{x},

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y^{\prime}+2y=2e^{x},
e pede a solução geral y(x). Aqui não foi dada condição inicial, então vamos encontrar a família de soluções com constante arbitrária.

Passo 2

Vamos identificar a forma padrão de uma ED linear de primeira ordem:
y'+p(x)\,y=q(x).
No nosso caso temos p(x)=2 (constante) e q(x)=2e^{x}. A técnica mais direta é o fator integrante (integrating factor).

Passo 3

Explicando o fator integrante de forma didática: se multiplicarmos a equação por uma função \mu(x) tal que \mu'(x)=\mu(x)p(x), então o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(x)y(x). Em outras palavras, escolhemos \mu(x) satisfazendo
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=p(x),
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\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Isso transforma a equação em
\big(\mu(x)y(x)\big)'=\mu(x)q(x),
que é fácil de integrar. É uma reescrita baseada na regra do produto da derivada: (\mu y)'=\mu y'+\mu' y.

Passo 4

Calcular o fator integrante para p(x)=2:
\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.
Multiplicando a ED original por e^{2x} obtemos
e^{2x}y'+2e^{2x}y.
Pela regra do produto isso é justamente
\big(e^{2x}y\big)'.

Passo 5

Multiplicando toda a equação por e^{2x} e simplificando o lado direito:
\big(e^{2x}y\big)' = 2e^{x}\cdot e^{2x} = 2e^{3x}.

Passo 6

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \big(e^{2x}y\big)'\,dx = \int 2e^{3x}\,dx.
O lado esquerdo integra facilmente para e^{2x}y. No lado direito,
\int 2e^{3x}\,dx = 2\cdot\frac{1}{3}e^{3x} + C = \frac{2}{3}e^{3x}+C,
onde C é a constante de integração. Assim obtemos a relação
e^{2x}y = \frac{2}{3}e^{3x}+C.

Passo 7

Breve comentário pedagógico (outra forma de ver a solução): a solução geral de uma ED linear é soma da solução geral da homogênea y_h com uma solução particular y_p. A homogênea y'+2y=0 tem solução y_h=C e^{-2x}. Para encontrar y_p para o lado 2e^{x} pode-se tentar y_p=Ae^{x}; substituindo obtém-se 3A e^{x}=2e^{x}, logo A=\tfrac{2}{3}. Assim y_p=\tfrac{2}{3}e^{x} e a solução geral é y=y_h+y_p. (Este parágrafo serve só para aprendizagem; a derivação pelo fator integrante já nos deu a expressão integrada no passo anterior.)

Resposta

y(x)=\dfrac{2}{3}e^{x}+C e^{-2x}

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