Resolva as equações diferenciais:
,
Passo 1
Enunciado claro e dados fornecidos. Foi dada a equação diferencial ordinária de primeira ordem
e o objetivo é encontrar a solução geral
. Não há condição inicial fornecida, então vamos determinar a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Reconhecer a forma da equação e o método a usar. A equação está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
onde aqui
e
. Para resolver usamos o fator integrante
, que transforma a equação num produto derivado. O fator integrante é definido por
Vou explicar: multiplicando a equação por
obtemos uma forma
, que é fácil de integrar.
Passo 3
Calcular o fator integrante. Como
,
Logo o fator integrante é
Breve nota didática:
é escolhida assim porque sua derivada satisfaz
, o que faz com que
.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Fazendo isso obtemos
Pelo comentário do passo anterior, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Portanto
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Temos que calcular
Fazemos a substituição
. Então
, isto é
. Assim
onde
é a constante de integração. Portanto da integração obtemos
Passo 6
Isolar
. Dividindo por
(que nunca é zero) vem
onde
é uma constante arbitrária real. Esta é a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando a solução encontrada e substituindo na equação original para conferir. Se
então
Calculando
dá
que é exatamente o lado direito da equação original. Portanto a solução está correta.