Resolva as equações diferenciais:
y^{\prime}+3 x^{2} y=6 x^{2},

Passo 1

Enunciado claro e dados fornecidos. Foi dada a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y' + 3x^{2}y = 6x^{2},
e o objetivo é encontrar a solução geral y(x). Não há condição inicial fornecida, então vamos determinar a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Reconhecer a forma da equação e o método a usar. A equação está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
y' + p(x)\,y = q(x),
onde aqui p(x)=3x^{2} e q(x)=6x^{2}. Para resolver usamos o fator integrante \mu(x), que transforma a equação num produto derivado. O fator integrante é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Vou explicar: multiplicando a equação por \mu(x) obtemos uma forma (\mu y)'=\mu q(x), que é fácil de integrar.

Passo 3

Calcular o fator integrante. Como p(x)=3x^{2},
\int p(x)\,dx=\int 3x^{2}\,dx = x^{3}.
Logo o fator integrante é
\mu(x)=e^{x^{3}}.
Breve nota didática: \mu(x) é escolhida assim porque sua derivada satisfaz \mu'(x)=p(x)\mu(x), o que faz com que (\mu y)'=\mu y'+\mu' y=\mu(y'+p y).

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{x^{3}}. Fazendo isso obtemos
e^{x^{3}}y' + 3x^{2}e^{x^{3}}y = 6x^{2}e^{x^{3}}.
Pelo comentário do passo anterior, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto (e^{x^{3}}y). Portanto
\bigl(e^{x^{3}}y\bigr)' = 6x^{2}e^{x^{3}}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Temos que calcular
\int 6x^{2}e^{x^{3}}\,dx.
Fazemos a substituição u=x^{3}. Então du=3x^{2}\,dx, isto é x^{2}\,dx=\dfrac{du}{3}. Assim
\int 6x^{2}e^{x^{3}}\,dx = \int 6 e^{u}\cdot \frac{du}{3} = \int 2 e^{u}\,du = 2e^{u} + C = 2e^{x^{3}} + C,
onde C é a constante de integração. Portanto da integração obtemos
e^{x^{3}}y = 2e^{x^{3}} + C.

Passo 6

Isolar y. Dividindo por e^{x^{3}} (que nunca é zero) vem
y(x) = 2 + C e^{-x^{3}},
onde C é uma constante arbitrária real. Esta é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando a solução encontrada e substituindo na equação original para conferir. Se y=2+Ce^{-x^{3}} então
y' = -3x^{2}C e^{-x^{3}}.
Calculando y' + 3x^{2}y
-3x^{2}C e^{-x^{3}} + 3x^{2}\bigl(2+Ce^{-x^{3}}\bigr) = -3x^{2}C e^{-x^{3}} + 6x^{2} + 3x^{2}C e^{-x^{3}} = 6x^{2},
que é exatamente o lado direito da equação original. Portanto a solução está correta.

Resposta

y(x)=2+Ce^{-x^{3}}

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