Resolva as equações diferenciais:
,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede achar as soluções
. Não há condições iniciais fornecidas, então vamos procurar a solução geral (família de soluções com constante arbitrária). Importante: a equação envolve
no denominador, então observe que
é um ponto singular — as soluções deverão ser consideradas em intervalos onde
.
Passo 2
Escolha do método. A equação está na forma em que o lado direito é um produto/fração que separa as variáveis
e
: isso indica que a equação é separável. Um EDO separável tem a forma
ou seja, podemos rearranjar para ter todos os termos em
de um lado e todos os termos em
do outro, e então integrar. Aqui temos
e
, então podemos separar as variáveis. Esse é o método mais direto e básico para esse tipo de equação.
Passo 3
Separe as variáveis. Partindo de
escreve-se
, logo
Agora dividimos ambos os lados por
(assumindo temporariamente
) e multiplicamos por
, obtendo
Essa é a separação: todos os
no lado esquerdo e todos os
no lado direito.
Passo 4
Integre ambos os lados. As integrais são as funções logaritmo natural:
As antiderivadas são
onde
é a constante de integração. Expliquei: usamos valor absoluto porque a integral de
é
, válida para
positivo ou negativo (exceto
).
Passo 5
Resolva para
. A partir de
exponenciando ambos os lados (aplicando a função exponencial) temos
Defina uma constante positiva
. Assim
, o que implica
. Unificando o sinal numa constante real arbitrária
(que pode ser zero), obtemos a forma mais simples da solução:
onde
. Note que isso já inclui a solução
quando
.
Passo 6
Discussão sobre domínio e continuidade. A separação usou divisão por
, então a dedução foi feita para
. As soluções
são funções bem definidas em qualquer intervalo onde
não muda de sinal (por exemplo em
ou em
); uma mesma constante
vale em todo intervalo em que a solução for definida. Em problemas com condição inicial em
, escolhe-se o intervalo contendo
.
Passo 7
Verificação direta (checagem simples para a prova). Se
, então
. Também
. Portanto
é satisfeita. Para
,
e
também funciona (exceto em
, mas a igualdade considerada em
vale).
Passo 8
Dica de prova e lembrete para a prova: ao ver
pense "separar
e
" imediatamente; integrações dão logaritmos e o resultado final será
. Anote que sempre deve mencionar o domínio onde a separação foi válida (
).