Resolva as equações diferenciais:
y^{\prime}=\frac{y}{x},

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'=\frac{y}{x},
e pede achar as soluções y(x). Não há condições iniciais fornecidas, então vamos procurar a solução geral (família de soluções com constante arbitrária). Importante: a equação envolve x no denominador, então observe que x=0 é um ponto singular — as soluções deverão ser consideradas em intervalos onde x\neq0.

Passo 2

Escolha do método. A equação está na forma em que o lado direito é um produto/fração que separa as variáveis y e x: isso indica que a equação é separável. Um EDO separável tem a forma
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y),
ou seja, podemos rearranjar para ter todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro, e então integrar. Aqui temos g(x)=1/x e h(y)=y, então podemos separar as variáveis. Esse é o método mais direto e básico para esse tipo de equação.

Passo 3

Separe as variáveis. Partindo de
y'=\frac{y}{x},
escreve-se y'=\dfrac{dy}{dx}, logo
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}.
Agora dividimos ambos os lados por y (assumindo temporariamente y\neq0) e multiplicamos por dx, obtendo
\frac{1}{y}\,dy=\frac{1}{x}\,dx.
Essa é a separação: todos os y no lado esquerdo e todos os x no lado direito.

Passo 4

Integre ambos os lados. As integrais são as funções logaritmo natural:
\int\frac{1}{y}\,dy=\int\frac{1}{x}\,dx.
As antiderivadas são
\ln|y| = \ln|x| + C,
onde C é a constante de integração. Expliquei: usamos valor absoluto porque a integral de 1/y é \ln|y|, válida para y positivo ou negativo (exceto y=0).

Passo 5

Resolva para y. A partir de
\ln|y|=\ln|x|+C,
exponenciando ambos os lados (aplicando a função exponencial) temos
|y| = e^{\ln|x|+C}=e^{C}\,|x|.
Defina uma constante positiva A=e^{C}>0. Assim |y| = A |x|, o que implica y=\pm A\,x. Unificando o sinal numa constante real arbitrária K (que pode ser zero), obtemos a forma mais simples da solução:
y=K x,
onde K\in\mathbb{R}. Note que isso já inclui a solução y\equiv0 quando K=0.

Passo 6

Discussão sobre domínio e continuidade. A separação usou divisão por x, então a dedução foi feita para x\neq0. As soluções y=Kx são funções bem definidas em qualquer intervalo onde x não muda de sinal (por exemplo em x>0 ou em x<0); uma mesma constante K vale em todo intervalo em que a solução for definida. Em problemas com condição inicial em x_0, escolhe-se o intervalo contendo x_0.

Passo 7

Verificação direta (checagem simples para a prova). Se y(x)=Kx, então y'(x)=K. Também \dfrac{y}{x}=\dfrac{Kx}{x}=K. Portanto y'=\dfrac{y}{x} é satisfeita. Para K=0, y\equiv0 e y'=0=\dfrac{0}{x} também funciona (exceto em x=0, mas a igualdade considerada em x\neq0 vale).

Passo 8

Dica de prova e lembrete para a prova: ao ver y'=\dfrac{y}{x} pense "separar y e x" imediatamente; integrações dão logaritmos e o resultado final será y=Cx. Anote que sempre deve mencionar o domínio onde a separação foi válida ( x\neq0).

Resposta

y=Kx,\\ K\in\mathbb{R} (solução geral, válida em intervalos com x\neq0).

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