Resolva as equações diferenciais:
y^{\prime}-\frac{4}{x} y=\frac{-2}{x^{3}}, \quad x>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' - \frac{4}{x}\,y = -\frac{2}{x^{3}},\quad x>0.
Trata-se de uma equação linear da forma
y' + P(x)\,y = Q(x),
com P(x) = -4/x e Q(x) = -2/x^3. Vamos usar o método do fator integrante para solucioná-la.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x) como
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int -\frac{4}{x}\,dx\Bigr) = \exp(-4\ln x) = x^{-4}.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por \mu(x)=x^{-4}:
x^{-4}y' - \frac{4}{x}\,x^{-4}y = -\frac{2}{x^3}\,x^{-4} \;\Longrightarrow\; x^{-4}y' - 4x^{-5}y = -2\,x^{-7}.
O lado esquerdo é a derivada de x^{-4}y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-4}y\bigr) = x^{-4}y' + (x^{-4})'\,y = x^{-4}y' -4x^{-5}y.

Passo 4

Escrevemos então
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-4}y\bigr) = -2\,x^{-7}.
Integramos ambos os lados em x:
x^{-4}y = \int -2\,x^{-7}\,dx = -2\cdot\frac{x^{-6}}{-6} + C = \frac{1}{3}\,x^{-6} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando a y, multiplicamos por x^4:
y = x^4\Bigl(\tfrac{1}{3}\,x^{-6} + C\Bigr) = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} + C\,x^4.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = C\,x^{4} + \frac{1}{3\,x^{2}},
com C constante arbitrária e válida para x>0.

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