Resolva as equações diferenciais:
y^{\prime}-\frac{4}{x} y=x^{5} e^{x}, \quad x>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear
y' - \frac{4}{x}\,y = x^{5}e^{x},\quad x>0.
O conteúdo é método do fator integrante para equações lineares da forma y' + P(x)y = Q(x).

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão
y' + P(x)\,y = Q(x)
identificando
P(x) = -\frac{4}{x}, \quad Q(x) = x^{5}e^{x}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int -\tfrac{4}{x}\,dx\Bigr) = \exp(-4\ln x) = x^{-4}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por \mu(x)=x^{-4}. O lado esquerdo torna-se a derivada de \mu(x)\,y:
x^{-4}y' - 4x^{-5}y = x^{-4}\bigl(x^{5}e^{x}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \bigl(x^{-4}y\bigr)' = x\,e^{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^{-4}y = \int x e^{x}\,dx + C.
Para a integral por partes, tomamos u = x, dv = e^{x}dx, obtendo
\int x e^{x}\,dx = (x-1)e^{x}.
Logo
x^{-4}y = (x-1)e^{x} + C.

Passo 6

Isolando y, multiplicamos ambos os lados por x^{4}:
y = x^{4}\bigl[(x-1)e^{x} + C\bigr] = (x^{5}-x^{4})e^{x} + C\,x^{4}.

Resposta

A solução geral é
\boxed{y(x) = (x^{5}-x^{4})e^{x} + C\,x^{4},\quad C\in\mathbb{R}.}

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