Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI):
y^{\prime}+3 t^{2} y=e^{-t^{3}+t}, \quad y(0)=2.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'+3t^{2}y=e^{-t^{3}+t},\quad y(0)=2,
que é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem com coeficiente p(t)=3t^{2} e termo não homogêneo g(t)=e^{-t^{3}+t}. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(t)=\exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(\int 3t^{2}\,dt\Bigr) =\exp\bigl(t^{3}\bigr).
Multiplicando a EDO por \mu(t) obtemos
\mu(t)\,y'+\mu(t)\,3t^{2}y =\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{t^{3}}\bigr) =e^{t^{3}}\;e^{-t^{3}+t} =e^{t}.

Passo 3

Integramos em t:
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{t^{3}}\bigr)=e^{t} \quad\Longrightarrow\quad y\,e^{t^{3}}=\int e^{t}\,dt+C =e^{t}+C.

Passo 4

Isolamos y e aplicamos a condição inicial y(0)=2:
y(t)=e^{-t^{3}}\bigl(e^{t}+C\bigr), \quad y(0)=2\;\Longrightarrow\; 2=e^{0}(1+C)\;\Rightarrow\;C=1.

Resposta

A solução particular do PVI é
\boxed{y(t)=e^{-t^{3}}\bigl(e^{t}+1\bigr)}.

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