Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI):
y^{\prime}+x^{4} y=x^{4} e^{\frac{4}{5} x^{5}}, \quad y(0)=1.

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI
y'+x^{4}y = x^{4}e^{\frac{4}{5}x^{5}},\quad y(0)=1
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o fator integrante.

Passo 2

Identificamos
p(x)=x^{4},\quad q(x)=x^{4}e^{\frac{4}{5}x^{5}}
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr)=\exp\Bigl(\int x^{4}\,dx\Bigr)=\exp\Bigl(\frac{x^{5}}{5}\Bigr).

Passo 3

Multiplicando a EDO original por \mu(x) obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(y\,\mu(x)\bigr) =\mu(x)\,q(x) =\exp\Bigl(\frac{x^{5}}{5}\Bigr)\,x^{4}e^{\frac{4}{5}x^{5}} =x^{4}e^{x^{5}}.
Integramos ambos os lados:
\int x^{4}e^{x^{5}}\,dx \quad\text{fazendo }u=x^{5}\Rightarrow du=5x^{4}dx \quad\Longrightarrow\quad \int x^{4}e^{x^{5}}\,dx=\frac{1}{5}e^{x^{5}}+C.
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y\,\exp\Bigl(\frac{x^{5}}{5}\Bigr) =\frac{1}{5}e^{x^{5}}+C.

Passo 4

Isolando y:
y(x) =\exp\Bigl(-\frac{x^{5}}{5}\Bigr)\Bigl(\frac{1}{5}e^{x^{5}}+C\Bigr) =\frac{1}{5}e^{\frac{4}{5}x^{5}}+C\,e^{-\frac{x^{5}}{5}}.

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(0)=1:
1=\frac{1}{5}e^{0}+C\,e^{0} =\frac{1}{5}+C \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{4}{5}.

Resposta

y(x) =\frac{1}{5}e^{\frac{4}{5}x^{5}} +\frac{4}{5}e^{-\frac{x^{5}}{5}}.

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