Resolva as equações:
y^{\prime}-\frac{y}{x}=\frac{1}{x^{2}}, \quad x>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' - \frac{y}{x} = \frac{1}{x^{2}}, \quad x>0.
O método que vamos usar é o do fator integrante.

Passo 2

Colocamos no formato padrão
y' + P(x)\,y = Q(x),
onde P(x) = -\tfrac{1}{x} e Q(x)=\tfrac{1}{x^{2}}.
O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int -\frac{1}{x}\,dx} = e^{-\ln x} = x^{-1}.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(x)=x^{-1} obtemos
x^{-1}y' - x^{-2}y = x^{-3}.
O lado esquerdo é precisamente a derivada de y/x, pois
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = \frac{x\,y' - y}{x^{2}} = x^{-1}y' - x^{-2}y.

Passo 4

Logo temos
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = x^{-3}.
Integramos ambos os lados em relação a x:
\frac{y}{x} = \int x^{-3}\,dx = -\frac{1}{2x^{2}} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y, multiplicamos por x:
y(x) = x\Bigl(-\tfrac{1}{2x^{2}} + C\Bigr) = -\frac{1}{2x} + C\,x.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = C\,x - \frac{1}{2x},
com C constante arbitrária e x>0.

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