Resolva as equações diferenciais:
y^{\prime}-\frac{1}{x} y=-x, \quad x>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' - \frac{1}{x}\,y = -x,\quad x>0.
O conteúdo aqui é equação diferencial linear de 1ª ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante: primeiro colocamos no formato
y' + P(x)\,y = Q(x),
identificamos P(x) e Q(x), calculamos o fator integrante \mu(x), e em seguida obtemos a solução geral.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma padrão, com y' + P(x)y = Q(x), temos
y' + \Bigl(-\frac{1}{x}\Bigr)y = -x.
Logo
P(x) = -\frac{1}{x}, \qquad Q(x) = -x.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x) = \exp\!\biggl(\int P(x)\,dx\biggr) = \exp\!\biggl(\int -\frac{1}{x}\,dx\biggr) = \exp\bigl(-\ln x\bigr) = x^{-1}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original por \mu(x)=x^{-1}. Isso transforma o lado esquerdo em derivada exata:
x^{-1}y' - x^{-2}y = -1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = -1.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)\,dx = \int -1\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{x} = -x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolando y, obtemos a solução geral:
y(x) = -x^2 + C\,x,
com C\in\mathbb{R}.

Resposta

y(x) = -x^{2} + C\,x,\quad C\in\mathbb{R}.

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