Resolva as equações diferenciais:
y^{\prime}=y^{2} \sin (x),

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y' = y^{2}\sin(x)
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A derivada y' significa \dfrac{dy}{dx}.
  • A equação relaciona a derivada de y com um produto que envolve apenas y e apenas x.
    O objetivo é encontrar todas as soluções y(x) (a solução geral), incluindo soluções constantes se existirem.

Passo 2

Entendendo a notação e o que podemos fazer já: escreverei y'=\dfrac{dy}{dx}. Assim a equação fica
\frac{dy}{dx}=y^{2}\sin(x).
Repare que o lado direito é um produto de uma função de y (que é y^{2}) por uma função de x (que é \sin(x)). Esse formato sugere que a equação é separável, ou seja, é possível separar todas as y para um lado e todos os x para o outro. Vou usar esse método porque é o mais direto aqui.

Passo 3

Separando variáveis: queremos escrever algo da forma g(y)\,dy = h(x)\,dx. Partindo de
\frac{dy}{dx}=y^{2}\sin(x),
se y\neq 0 podemos dividir por y^{2} e obter
\frac{1}{y^{2}}\,dy = \sin(x)\,dx.
Observação importante: ao dividir por y^{2} estamos assumindo y\neq 0. A função constante y\equiv 0 precisa ser verificada separadamente como possível solução — farei isso logo em seguida.

Passo 4

Integrando ambos os lados. Vamos integrar em relação a suas variáveis:
\int \frac{1}{y^{2}}\,dy = \int \sin(x)\,dx.
Agora calculo cada integral com calma e explico:
  • Para a integral à esquerda escrevemos \frac{1}{y^{2}} = y^{-2}. A primitiva de y^{-2} em relação a y é -y^{-1}, porque \dfrac{d}{dy}(-y^{-1}) = -(-1)y^{-2}=y^{-2}.
  • Para a integral à direita, a primitiva de \sin(x) em relação a x é -\cos(x), porque \dfrac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x.
Portanto, após integrar obtemos
-\,\frac{1}{y} = -\cos(x) + C,
onde C é a constante de integração (combinação das constantes de cada lado).

Passo 5

Isolando y: a equação acima pode ser rearranjada. Multiplicando por -1
\frac{1}{y} = \cos(x) - C.
Podemos renomear a constante -C por uma nova constante K (isso é padrão para simplificar a escrita). Chamando K=\!-\!C obtemos
\frac{1}{y} = \cos(x) + K.
Assim, quando y\neq 0 a solução geral explícita é
y(x)=\frac{1}{\cos(x)+K},
onde K\in\mathbb{R} é constante arbitrária. Lembre-se da restrição óbvia: a solução só é válida onde o denominador não se anula, ou seja, para os x tais que \cos(x)+K\neq 0.

Passo 6

Tratamento da solução constante y\equiv 0: precisamos verificar se y(x)=0 é solução da equação dada. Se y\equiv 0 então y'=0 e o lado direito y^{2}\sin(x)=0. Logo 0=0 e y\equiv 0 é de fato uma solução. Note que essa solução não aparece na forma y=\dfrac{1}{\cos x + K} para qualquer K finito, por isso deve ser listada separadamente.

Passo 7

Verificação rápida da solução não constante: para assegurar que a solução encontrada está correta, derive y(x)=\bigl(\cos x + K\bigr)^{-1}. Usando derivação de potência composta:
y' = -1\cdot\bigl(\cos x + K\bigr)^{-2}\cdot(-\sin x) = \frac{\sin x}{(\cos x + K)^{2}}.
Como y^{2}=\dfrac{1}{(\cos x + K)^{2}}, obtemos
y' = y^{2}\sin x,
confirmando que a solução está correta onde definida.

Passo 8

Observações sobre domínio e singularidades:
  • Cada solução não constante y(x)=\dfrac{1}{\cos x + K} está definida apenas nos intervalos em que \cos x + K \neq 0. Nos pontos onde \cos x + K = 0 há singularidades (poles) da solução — em provas isso costuma ser mencionado como “solução definida em intervalos máximos que não cruzam as raízes de \cos x + K”.
  • A solução zero y\equiv 0 é globalmente definida para todo x.

Passo 9

Como usar uma condição inicial (rapidamente): se for dado y(x_{0})=y_{0} com y_{0}\neq 0, então a constante K é determinada por
\frac{1}{y_{0}} = \cos(x_{0}) + K \quad\Rightarrow\quad K = \frac{1}{y_{0}} - \cos(x_{0}).
Se y_{0}=0 então a única solução que satisfaz é y\equiv 0.

Resposta

y(x)=0
y(x)=\dfrac{1}{\cos(x)+C},\quad C\in\mathbb{R},\\ \text{com }\cos(x)+C\neq 0

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