Resolva as equações diferenciais:
,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede a solução geral
. Informações relevantes que temos:
- A incógnita é a função
. - A derivada
significa . - A equação relaciona a derivada de
com um produto que envolve apenas e apenas .
O objetivo é encontrar todas as soluções(a solução geral), incluindo soluções constantes se existirem.
Passo 2
Entendendo a notação e o que podemos fazer já: escreverei
. Assim a equação fica
Repare que o lado direito é um produto de uma função de
(que é
) por uma função de
(que é
). Esse formato sugere que a equação é separável, ou seja, é possível separar todas as
para um lado e todos os
para o outro. Vou usar esse método porque é o mais direto aqui.
Passo 3
Separando variáveis: queremos escrever algo da forma
. Partindo de
se
podemos dividir por
e obter
Observação importante: ao dividir por
estamos assumindo
. A função constante
precisa ser verificada separadamente como possível solução — farei isso logo em seguida.
Passo 4
Integrando ambos os lados. Vamos integrar em relação a suas variáveis:
Agora calculo cada integral com calma e explico:
- Para a integral à esquerda escrevemos
. A primitiva de em relação a é , porque . - Para a integral à direita, a primitiva de
em relação a é , porque .
Portanto, após integrar obtemos
onde
é a constante de integração (combinação das constantes de cada lado).
Passo 5
Isolando
: a equação acima pode ser rearranjada. Multiplicando por
dá
Podemos renomear a constante
por uma nova constante
(isso é padrão para simplificar a escrita). Chamando
obtemos
Assim, quando
a solução geral explícita é
onde
é constante arbitrária. Lembre-se da restrição óbvia: a solução só é válida onde o denominador não se anula, ou seja, para os
tais que
.
Passo 6
Tratamento da solução constante
: precisamos verificar se
é solução da equação dada. Se
então
e o lado direito
. Logo
e
é de fato uma solução. Note que essa solução não aparece na forma
para qualquer
finito, por isso deve ser listada separadamente.
Passo 7
Verificação rápida da solução não constante: para assegurar que a solução encontrada está correta, derive
. Usando derivação de potência composta:
Como
, obtemos
confirmando que a solução está correta onde definida.
Passo 8
Observações sobre domínio e singularidades:
- Cada solução não constante
está definida apenas nos intervalos em que . Nos pontos onde há singularidades (poles) da solução — em provas isso costuma ser mencionado como “solução definida em intervalos máximos que não cruzam as raízes de ”. - A solução zero
é globalmente definida para todo .
Passo 9
Como usar uma condição inicial (rapidamente): se for dado
com
, então a constante
é determinada por
Se
então a única solução que satisfaz é
.