Resolva as equações diferenciais:
,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
onde
e o apóstrofo indica derivada em relação a
. O que se pede é encontrar a solução geral
.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão contém
, portanto só faz sentido para . - Onde
(isto é, ) a expressão do lado direito fica com denominador zero; a equação original não está definida aí. Logo a resolução deve ser feita em intervalos onde e, tipicamente, . - Vamos procurar a solução geral (família de integrais) contendo uma constante arbitrária.
Passo 2
Método: separar variáveis (explicação breve e didática).
A técnica de separação de variáveis consiste em arrumar a equação para que todas as quantidades que dependem de fiquem num lado multiplicando
e todas as que dependem de
fiquem no outro lado multiplicando
. Isso transforma a ODE numa igualdade entre duas integrais que podemos calcular.
A técnica de separação de variáveis consiste em arrumar a equação para que todas as quantidades que dependem de
Partindo de
multiplicamos ambos os lados por
(isto é válido enquanto
e
) e por
, obtendo a forma separada
Agora cada lado depende apenas de uma variável, pronto para integrar.
Passo 3
Integração de cada lado (com explicação passo a passo).
Vamos integrar ambos os lados:
Vamos integrar ambos os lados:
Para a integral da esquerda fazemos a substituição natural
. Então
. Reescrevendo:
Integrando:
No lado direito:
Igualando as duas primitivas e juntando as constantes
e
numa única constante arbitrária
, obtemos a forma implícita da solução:
onde
é constante real.
Passo 4
Interpretação da forma obtida e considerações sobre domínio.
A igualdade é a solução implícita. Para obter a solução explícita para
isolamos
(tomando raiz quadrada com o sinal
) e, em seguida, exponenciamos. Deve-se lembrar:
A igualdade
- A solução só é válida em intervalos onde
(para existir). - Onde
(isto é, ) a ODE original tem denominador zero, logo não podemos ter uma solução que seja classe passando por pontos onde . Portanto, ao escolher a constante e o sinal deve-se garantir que no intervalo considerado, para evitar e manter a ODE bem definida.
Passo 5
Verificação rápida de soluções constantes e comentário final.
- Uma solução constante
exigiria para todo , o que não é possível para todo com (exceto imposições impossíveis); portanto não há solução constante admissível definida para todo . Em particular não é solução porque a ODE não está definida em . - Conclusão: a família obtida em
(com as restrições de domínio mencionadas) é a solução geral da equação diferencial dada.