Resolva as equações diferenciais:
y^{\prime}=\frac{x y}{2 \ln y},

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y'=\frac{x\,y}{2\ln y},
onde y=y(x) e o apóstrofo indica derivada em relação a x. O que se pede é encontrar a solução geral y(x).
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão contém \ln y, portanto só faz sentido para y>0.
  • Onde \ln y=0 (isto é, y=1) a expressão do lado direito fica com denominador zero; a equação original não está definida aí. Logo a resolução deve ser feita em intervalos onde y>0 e, tipicamente, \ln y\neq0.
  • Vamos procurar a solução geral (família de integrais) contendo uma constante arbitrária.

Passo 2

Método: separar variáveis (explicação breve e didática).
A técnica de separação de variáveis consiste em arrumar a equação para que todas as quantidades que dependem de y fiquem num lado multiplicando dy e todas as que dependem de x fiquem no outro lado multiplicando dx. Isso transforma a ODE numa igualdade entre duas integrais que podemos calcular.
Partindo de
\frac{dy}{dx}=\frac{x\,y}{2\ln y},
multiplicamos ambos os lados por \dfrac{2\ln y}{y} (isto é válido enquanto y>0 e \ln y\neq0) e por dx, obtendo a forma separada
\frac{2\ln y}{y}\,dy = x\,dx.
Agora cada lado depende apenas de uma variável, pronto para integrar.

Passo 3

Integração de cada lado (com explicação passo a passo).
Vamos integrar ambos os lados:
\int \frac{2\ln y}{y}\,dy = \int x\,dx.
Para a integral da esquerda fazemos a substituição natural u=\ln y. Então du=\dfrac{dy}{y}. Reescrevendo:
\frac{2\ln y}{y}\,dy = 2u\,du.
Integrando:
\int 2u\,du = u^2 + C_1 = (\ln y)^2 + C_1.
No lado direito:
\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C_2.
Igualando as duas primitivas e juntando as constantes C_1 e C_2 numa única constante arbitrária C, obtemos a forma implícita da solução:
(\ln y)^2 = \frac{x^2}{2} + C,
onde C é constante real.

Passo 4

Interpretação da forma obtida e considerações sobre domínio.
A igualdade (\ln y)^2=\dfrac{x^2}{2}+C é a solução implícita. Para obter a solução explícita para y isolamos \ln y (tomando raiz quadrada com o sinal \pm) e, em seguida, exponenciamos. Deve-se lembrar:
  • A solução só é válida em intervalos onde y>0 (para \ln y existir).
  • Onde \ln y=0 (isto é, y=1) a ODE original tem denominador zero, logo não podemos ter uma solução que seja classe C^1 passando por pontos onde \ln y=0. Portanto, ao escolher a constante C e o sinal \pm deve-se garantir que \dfrac{x^2}{2}+C>0 no intervalo considerado, para evitar \ln y=0 e manter a ODE bem definida.

Passo 5

Verificação rápida de soluções constantes e comentário final.
  • Uma solução constante y(x)\equiv y_0 exigiria 0=y'(x)=\dfrac{x y_0}{2\ln y_0} para todo x, o que não é possível para todo x com y_0>0 (exceto imposições impossíveis); portanto não há solução constante admissível definida para todo x. Em particular y\equiv1 não é solução porque a ODE não está definida em y=1.
  • Conclusão: a família obtida em (\ln y)^2=\dfrac{x^2}{2}+C (com as restrições de domínio mencionadas) é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

y(x)=\exp\!\left(\pm\sqrt{\dfrac{x^{2}}{2}+C}\right),\qquad C\in\mathbb{R}

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