Verifique que as séries abaixo atendem às condições do Critério de Leibniz e conclua que elas são convergentes:
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Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
satisfaz o Critério de Leibniz e, portanto, converge. Vamos usar o conteúdo de séries alternadas e verificar três condições: sinal alternado, termo geral positiva decrescente e que tende a zero.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos o termo geral na forma padrão do Critério de Leibniz:
, em que
. Note que
para todo
, e o fator
garante o sinal alternado.
Passo 3
Agora, precisamos verificar que
é decrescente para todo
a partir de algum ponto. Compare
e
fazendo a desigualdade
Passo 4
Multiplicando em cruz (tudo é positivo), obtemos
Passo 5
Expandindo ambos os lados e simplificando, chega-se a
Passo 6
Por fim, calculemos o limite de
quando
:
Passo 7
Como temos sinal alternado,
decrescente (a partir de
) e
, pelo Critério de Leibniz a série converge.
Resposta
A série
converge pelo Critério de Leibniz.