Verifique que as séries abaixo atendem às condições do Critério de Leibniz e conclua que elas são convergentes:
© sumn=1^infty (-1)^n n^2n^3+2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série sumn=1^infty(-1)^nn^2n^3+2 satisfaz o Critério de Leibniz e, portanto, converge. Vamos usar o conteúdo de séries alternadas e verificar três condições: sinal alternado, termo geral positiva decrescente e que tende a zero.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o termo geral na forma padrão do Critério de Leibniz: an = (-1)^n bn, em que bn = n^2n^3+2. Note que bn>0 para todo n, e o fator (-1)^n garante o sinal alternado.

Passo 3

Agora, precisamos verificar que bn é decrescente para todo n a partir de algum ponto. Compare bn+1 e bn fazendo a desigualdade
(n+1)^2(n+1)^3+2 < n^2n^3+2

Passo 4

Multiplicando em cruz (tudo é positivo), obtemos
(n+1)^2(n^3+2) < n^2l((n+1)^3+2r)

Passo 5

Expandindo ambos os lados e simplificando, chega-se a
n^4 + 2n^3 + n^2 - 4n - 2 > 0 para n>=2. Isso mostra que bn+1 a partir de n=2, ou seja, bn é decrescente eventualmente.

Passo 6

Por fim, calculemos o limite de bn quando ntoinfty:
limntoinfty bn = limntoinfty n^2n^3+2 = limntoinfty 1n+2/n^2 = 0

Passo 7

Como temos sinal alternado, bn decrescente (a partir de n=2) e bnto0, pelo Critério de Leibniz a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^nn^2n^3+2 converge pelo Critério de Leibniz.

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