Resolva as equações diferenciais:
y^prime=x sen 2 x+y tg x, -pi<x<pi

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = xsen(2x) + ytg x, -pi<x<pi
Este é um caso de equação linear na forma
y' - (tg x),y = xsen(2x)
Para resolvê-la vamos usar o fator integrante.

Passo 2

Identificamos P(x) = -tg x. Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral -tg x,dxr) = expl(lncos xr) = cos x
Multiplicando a equação original por cos x obtemos
cos x,y' - (sin x),y = xsen(2x)cos x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de ,ycos x:
ddxl(ycos xr) = y'cos x - ysin x
Logo a equação vira
ddxl(ycos xr) = xsen(2x)cos x

Passo 3

Reescrevemos o integrando do lado direito usando sen(2x)=2sen xcos x:
xsen(2x)cos x = xl(2sen xcos xr)cos x = 2,x,sen x,cos^2x = x,sen x,l(1+cos2xr)
Então
ddxl(ycos xr) = xsen x + xsen xcos2x
Integramos ambos os lados:
ycos x = integrall(xsen x + xsen xcos2xr),dx + C

Passo 4

Agora calculamos

e

por partes:
1. Para , tome , . Então
2. Para , use .
Logo
Cada termo de novo por partes:

Aplicando com e com e combinando com , obtemos após simplificar

Passo 5

Substituindo em e dividindo por , a solução geral é

Resposta

Exercícios relacionados