Resolva as equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Este é um caso de equação linear na forma
Para resolvê-la vamos usar o fator integrante.
Passo 2
Identificamos
. Calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação original por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
:
Logo a equação vira
Passo 3
Reescrevemos o integrando do lado direito usando
:
Então
Integramos ambos os lados:
Passo 4
Agora calculamos
e
por partes:
e
por partes:
1. Para
, tome
,
. Então
2. Para
, use .
Logo
Logo
Cada termo de novo por partes:
Aplicando com e com
e combinando com
, obtemos após simplificar
Aplicando com
Passo 5
Substituindo em
e dividindo por
, a solução geral é