Resolva as Equações Diferenciais:
y^prime prime-y^prime+14 y=3+e^x / 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' + tfrac14,y = 3 + e^x/2
O método geral é:
  1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada
  2. Encontrar uma solução particular para o termo constante 3
  3. Encontrar uma solução particular para o termo e^x/2
  4. Somar tudo para obter a solução geral

Passo 2

Equação homogênea:
y'' - y' + tfrac14,y = 0
A equação característica é
r^2 - r + tfrac14 = 0,
cujo discriminante é De<a = (-1)^2 - 4cdot1cdottfrac14 = 0. Logo há raiz dupla
r = tfrac12
Portanto a solução geral homogênea é
yh = l(C1 + C2,xr)e^x/2

Passo 3

Para o termo constante 3, fazemos o palpite yp1=A (constante). Substituindo em
y'' - y' + tfrac14 y = 3
vem 0 - 0 + tfrac14 A = 3, logo
A = 12
Assim
yp1 = 12

Passo 4

Para o termo e^x/2, notamos que e^x/2 já é solução da homogênea (e também x e^x/2), então multiplicamos por x^2. Fazemos o palpite
yp2 = B,x^2 e^x/2
Calculamos
w = x^2 e^x/2, w' = e^x/2(2x + tfrac12 x^2), w'' = e^x/2l(2 + 2x + tfrac14 x^2r)
Logo, para yp2=B,w, o LHS da equação é
yp2'' - yp2' + tfrac14 yp2 = Bl(w'' - w' + tfrac14 wr) = Bcdot 2,e^x/2
Queremos isso igual a e^x/2, então
2B,e^x/2 = e^x/2 Longrightarrow B = tfrac12
Assim
yp2 = tfrac12,x^2 e^x/2

Passo 5

A solução particular total é
yp = yp1 + yp2 = 12 + tfrac12,x^2 e^x/2
Somando com a homogênea, a solução geral fica
y = yh + yp = l(C1 + C2,xr)e^x/2 ;+; 12 ;+; tfrac12,x^2 e^x/2
Podemos agrupar os termos em e^x/2:
y = l(C1 + C2,x + tfrac12,x^2r)e^x/2 + 12

Resposta

y(x) = l(C1 + C2,x + tfrac12,x^2r)e^x/2 + 12

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