Determine os limites abaixo
Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
lim (x, y) (0,0) 2^-1x^2 cos (xx+y)

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x,y)=2^-1x^2cos!l(tfracxx+yr)
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Confronto (squeeze theorem) em duas variáveis e o fato de que cos é uma função limitada. Além disso, observamos que a expressão só está bem definida quando xneq0 e x+yneq0, mas o limite ignora a eventual indefinição em caminhos que caem exatamente em x+y=0.

Passo 2

Note que, para todo (x,y) em que f está definida, vale
l|cos!l(tfracxx+yr)r|<=1
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l|f(x,y)r| =l|2^-1x^2cos!l(tfracxx+yr)r| <=2^-1x^2

Passo 3

Agora analisamos o limite univariado
limxto02^-1x^2
Como -1/x^2to-infty quando xto0, temos
2^-1x^2;=;e^-ln2x^2;longrightarrow;0

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, de -2^-1/x^2<= f(x,y)<=2^-1/x^2 e do fato de 2^-1/x^2to0, concluímos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Resposta

0

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