Se a taxa de juros é composta continuamente a 100 i %, determine o montante M em qualquer instante do tempo.

Passo 1

O enunciado pede o montante M(t) quando os juros são compostos continuamente a uma taxa nominal de 100,i%. Em matemática financeira contínua isso leva à equação diferencial
dMdt=de<a,M
onde de<a é a taxa de juros contínua. Aqui, a taxa nominal contínua de 100,i% corresponde a
de<a = 100,i%100%=i

Passo 2

Escrevemos então a equação diferencial com de<a=i:
dMdt=i,M
Esta é uma equação de crescimento exponencial, que resolvemos por separação de variáveis.

Passo 3

Separamos variáveis e integramos:
integral dMM ;=;integral i,dt
ln M = i,t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Impondo a condição inicial M(0)=M0 (capital aplicado no instante zero), temos
ln M0=C,
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ln M = i,t + ln M0

Passo 5

Exponenciando ambos os lados, obtemos
M(t)=M0,e^,i,t

Resposta

M(t)=M0,e^,i,t

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