Resolva as equações diferenciais
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede suas soluções. Aqui reconhecemos uma equação de Clairaut do tipo
onde definimos
e
. Para resolver, usamos a teoria de equações de Clairaut: existe uma família geral de retas parametrizada por
e uma solução singular dada pelo envoltório dessas retas.
Passo 2
A solução geral de uma equação de Clairaut é
No nosso caso
, logo
com
constante. Como
, de fato essa família satisfaz a equação original.
Passo 3
A solução singular (o envoltório) obtém-se impondo
Calculando,
e igualando a zero dá
Substituindo esse
em
resulta
Resposta
Solução geral (família de retas):
Solução singular (envelope):