Resolva as equações diferenciais
y=x y^{\prime}+\left(y^{\prime}\right)^{-2}

Passo 1

O enunciado dá a equação
y = x\,y' + \bigl(y'\bigr)^{-2}
e pede suas soluções. Aqui reconhecemos uma equação de Clairaut do tipo
y = x\,p + f(p),
onde definimos p = y' e f(p) = p^{-2}. Para resolver, usamos a teoria de equações de Clairaut: existe uma família geral de retas parametrizada por C e uma solução singular dada pelo envoltório dessas retas.

Passo 2

A solução geral de uma equação de Clairaut é
y(x) = C\,x + f\text{(C)}.
No nosso caso f\text{(C)}=C^{-2}, logo
y(x) = C\,x + C^{-2},
com C constante. Como y'=p=C, de fato essa família satisfaz a equação original.

Passo 3

A solução singular (o envoltório) obtém-se impondo
\frac{\partial}{\partial C}\bigl(C\,x + C^{-2}\bigr)=0.
Calculando,
\frac{\partial}{\partial C}\bigl(C\,x + C^{-2}\bigr) = x - 2\,C^{-3}
e igualando a zero dá
x = 2\,C^{-3} \qquad\Longrightarrow\qquad C = \bigl\tfrac{2}{x}\bigr)^{1/3}.
Substituindo esse C em y = C\,x + C^{-2} resulta
y = \bigl(\tfrac{2}{x}\bigr)^{1/3} x \;+\;\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr)^{-2/3} = 2^{1/3}x^{2/3}+2^{-2/3}x^{2/3} =\frac{3}{2^{2/3}}\;x^{2/3}.

Resposta

Solução geral (família de retas):
y(x) = C\,x + C^{-2},\quad C\in\mathbb{R}.
Solução singular (envelope):
y(x) = \frac{3}{2^{2/3}}\,x^{2/3}.

Exercícios relacionados