Resolva as equações diferenciais
(x+y)^{2} d x+\left(2 x y+x^{2}-1\right) d y, \quad y(1)=1

Passo 1

O enunciado apresenta a forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y) = (x+y)^2, \quad N(x,y) = 2xy + x^2 - 1,
e condição inicial y(1)=1. Isto é um problema de equação diferencial exata. Vamos verificar a exatidão e, em seguida, encontrar a função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial\psi}{\partial x} = M, \quad \frac{\partial\psi}{\partial y} = N.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais para testar a exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x+y)^2 = 2(x+y),
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy + x^2 -1\bigr) = 2y + 2x = 2(x+y).
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a forma é exata.

Passo 3

Construímos \psi(x,y) integrando M em relação a x:
\psi(x,y) = \int (x+y)^2 \,dx = \int \bigl(x^2 + 2xy + y^2\bigr)\,dx = \frac{x^3}{3} + x^2y + x y^2 + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração dependente só de y.

Passo 4

Impondo \partial\psi/\partial y = N, temos
\frac{\partial\psi}{\partial y} = x^2 + 2xy + h'(y) \stackrel{!}{=} 2xy + x^2 -1 \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = -1 \;\;\Longrightarrow\;\; h(y) = -y + C_1.
Assim,
\psi(x,y) = \frac{x^3}{3} + x^2y + x y^2 - y.

Passo 5

A solução geral implícita é
\psi(x,y) = C \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{x^3}{3} + x^2y + x y^2 - y = C.

Passo 6

Usando a condição y(1)=1, obtemos
\frac{1^3}{3} + 1^2\cdot1 + 1\cdot1^2 - 1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 - 1 = \frac{4}{3} = C.

Passo 7

Logo, a solução particular que satisfaz y(1)=1 é dada implicitamente por
\frac{x^3}{3} + x^2y + x y^2 - y = \frac{4}{3}.

Resposta

\frac{x^3}{3} + x^2y + x y^2 - y = \frac{4}{3}.

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