Sem resolver, classifique cada uma das seguintes equações como: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulli, Ricatti, ou Clairaut.
\left(3 x^{2} y+e^{y}\right) d x+\left(x^{3}+x e^{y}-2 y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial em forma diferencial
(3x^{2}y + e^{y})\,dx + (x^{3} + x e^{y} - 2y)\,dy = 0
e pede para classificá-la entre separável, homogênea, exata, linear, Bernoulli, Riccati ou Clairaut. Vamos primeiro testar se ela é exata.

Passo 2

Definindo
M(x,y) = 3x^{2}y + e^{y}, \quad N(x,y) = x^{3} + x e^{y} - 2y,
calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 3x^{2} + e^{y}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 3x^{2} + e^{y}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Resposta

A equação é exata.

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