Resolva as equações diferenciais.
y^prime=x+raizx^2-y^2y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = x+raizx^2 - y^2y
Percebemos que aparece raizx^2 - y^2, então vamos usar a substituição trigonométrica
y = x sintheta,
de modo que x^2 - y^2 = x^2cos^2theta.

Passo 2

Com y = x sintheta temos
raizx^2 - y^2 = xcostheta,
e também, por derivar em relação a x,
y' = ddx(xsintheta) = sintheta + xcostheta,dthetadx

Passo 3

Substituindo em
y' = x + raizx^2 - y^2y
obtém-se
sintheta + xcostheta,dthetadx = x + xcosthetaxsintheta = 1+costhetasintheta
Isolando dthetadx:
xcostheta,dthetadx = 1+costhetasintheta-sintheta = costheta(1+costheta)sintheta,
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dthetadx = 1+costhetaxsintheta

Passo 4

Agora separamos variáveis:
sintheta1+costheta,dtheta = dxx

Passo 5

Integramos os dois lados:
integral sintheta1+costheta,dtheta = integral dxx
Para a esquerda, use u = 1+costheta, du = -sintheta,dtheta, obtendo
integral sintheta1+costheta,dtheta = -integral duu = -lnl|1+costhetar| + K
A direita é
integral dxx = ln|x| + C
Logo
-lnl|1+costhetar| = ln|x| + C Longrightarrow lnl|1+costhetar| = -ln|x| + C1

Passo 6

Exponentiando,
1+costheta = Cx
Lembrando costheta = dfracraizx^2-y^2x, tem-se
raizx^2-y^2x = Cx - 1 Longrightarrow raizx^2-y^2 = C - x

Passo 7

Elevando ao quadrado:
x^2 - y^2 = (C - x)^2 = C^2 - 2Cx + x^2 Longrightarrow y^2 = 2Cx - C^2

Resposta

A solução geral é
y^2 = 2C x - C^2,
ou, isolando y,
y = pmraiz2C x - C^2,
onde C é a constante de integração.

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