Resolva as equaçōes diferencias abaixo.
(d) (y+e^y-e^-x) d x+(1+e^y) d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que você me passou é:
(y + e^y - e^-x) dx + (1 + e^y) dy = 0
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas. Para resolver esse tipo de equação, precisamos verificar se ela é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata. Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e condições de exatidão para seguir com a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções $ M(x, y) $ e $ N(x, y) $ na nossa equação diferencial:
M(x, y)
N(x, y)
Uma equação diferencial da forma $ M dx + N dy = 0 $ é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Vamos calcular essas derivadas:
M(x, y) = y + e^y - e^-x
N(x, y) = 1 + e^y
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante que nos ajude a tornar a equação exata.

Passo 3

Um fator integrante é uma função $ \mu(x, y) $ que, quando multiplicada por toda a equação, torna-a exata. Muitas vezes, esse fator depende apenas de $ x $ ou apenas de $ y $.
Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de $ x $. Para isso, usamos a seguinte fórmula:
mu(x, y)
Substituindo os valores que encontramos:
x
Portanto:
y

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = e^{x} $:
mu(x) = e^x
Simplificando:
e^x (y + e^y - e^-x) dx + e^x (1 + e^y) dy = 0
Agora, vamos verificar se a nova equação é exata.

Passo 5

Calculamos novamente as derivadas parciais da nova $ M $ e $ N $:
M
N
Derivadas parciais:
M(x, y) = e^xy + e^x + y - 1
N(x, y) = e^x + e^x + y
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação agora é exata!

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função $ \Psi(x, y) $ tal que:
Psi(x, y)
partial Psipartial x = M(x, y)
Vamos encontrar $ \Psi(x, y) $ integrando $ M(x, y) $ em relação a $ x $:
partial Psipartial y = N(x, y)
Psi(x, y)
M(x, y)
Onde $ h(y) $ é uma função de $ y $ que surge da integração.

Passo 7

Agora, derivamos $ \Psi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N(x, y) $:
Psi(x, y)
y
Comparando com $ N(x, y) $:
N(x, y)
Não há termos que dependam de $ y $ na expressão, então $ h’(y) = 0 $ e $ h(y) $ é uma constante, que podemos chamar de $ C $.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Psi(x, y) = y e^x + e^x + y - x = C
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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