Resolva as equaçōes diferencias abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que você me passou é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas. Para resolver esse tipo de equação, precisamos verificar se ela é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata. Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e condições de exatidão para seguir com a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções $ M(x, y) $ e $ N(x, y) $ na nossa equação diferencial:
Uma equação diferencial da forma $ M dx + N dy = 0 $ é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Vamos calcular essas derivadas:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante que nos ajude a tornar a equação exata.
Passo 3
Um fator integrante é uma função $ \mu(x, y) $ que, quando multiplicada por toda a equação, torna-a exata. Muitas vezes, esse fator depende apenas de $ x $ ou apenas de $ y $.
Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de $ x $. Para isso, usamos a seguinte fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Portanto:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = e^{x} $:
Simplificando:
Agora, vamos verificar se a nova equação é exata.
Passo 5
Calculamos novamente as derivadas parciais da nova $ M $ e $ N $:
Derivadas parciais:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação agora é exata!
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função $ \Psi(x, y) $ tal que:
Vamos encontrar $ \Psi(x, y) $ integrando $ M(x, y) $ em relação a $ x $:
Onde $ h(y) $ é uma função de $ y $ que surge da integração.
Passo 7
Agora, derivamos $ \Psi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N(x, y) $:
Comparando com $ N(x, y) $:
Não há termos que dependam de $ y $ na expressão, então $ h’(y) = 0 $ e $ h(y) $ é uma constante, que podemos chamar de $ C $.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.