Resolva as equaçōes diferencias abaixo.
(a) d yd x=y+sen(x).

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações diferenciais lineares:
dydx - y = sin(x)
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante ( mu(x) = e^integral P(x) dx ), que é dado por:
mu(x) = e^integral -1 , dx = e^-x
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^-x cdot dydx - e^-x cdot y = e^-x cdot sin(x)
Isso simplifica para:
ddx ( y cdot e^-x ) = e^-x sin(x)
Aqui, utilizamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma forma onde o lado esquerdo é a derivada de .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a integral ddx ( y cdot e^-x ) dx = integral e^-x sin(x) dx :
y cdot e^-x = integral e^-x sin(x) dx + C
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral integral e^ax sin(bx) dx = e^axa^2 + b^2 (a sin(bx) - b cos(bx)) + C . Para isso, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos a forma padrão:
integral e^-x sin(x) dx = e^-x(-1)^2 + 1^2 ( -1 cdot sin(x) - 1 cdot cos(x) ) + C = -sin(x) - cos(x)2 e^-x + C
Aqui, e , então:

Passo 7

Substituímos a integral de volta na equação:
y cdot e^-x = -sin(x) - cos(x)2 e^-x + C

Passo 8

Agora, multiplicamos ambos os lados por y = -sin(x) - cos(x)2 + C e^x para resolver para y = -12 (sin(x) + cos(x)) + C e^x :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = -12 ( sin(x) + cos(x) ) + C e^x
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados