Resolva as equaçōes diferencias abaixo.
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações diferenciais lineares:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante (
), que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Aqui, utilizamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma forma onde o lado esquerdo é a derivada de
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos a forma padrão:
Aqui,
e
, então:
Passo 7
Substituímos a integral de volta na equação:
Passo 8
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para resolver para
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.