Resolva as equações diferencias:
d yd t+yz=y^3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
dydt + yz = y^3,
onde z é considerado constante. Trata-se de uma equação do tipo Bernoulli, pois tem a forma
dydt + p(t),y = q(t),y^n
Para resolver, vamos usar a transformação padrão dessa classe de equações.

Passo 2

Identificamos na nossa equação
dydt + 1z,y = 1cdot y^3
os coeficientes
p = 1z, q = 1, n = 3

Passo 3

Na equação de Bernoulli definimos
u = y^1-n = y^1-3 = y^-2
Precisamos expressar du/dt em função de dy/dt. Como
u = y^-2,
temos
dudt = -2,y^-3,dydt
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dydt = -tfrac12,y^3,dudt

Passo 4

Substituindo tfracdydt na equação original, obtemos
-tfrac12,y^3,dudt + 1zy = y^3
Multiplicando tudo por 2y^-3 surge
-dudt + 2z,y^-2 = 2,
isto é, usando y^-2=u,
dudt - 2z,u = -2
Esta é uma equação linear em u(t).

Passo 5

Para resolver
dudt - 2z,u = -2
calculamos o fator integrante
I(t) = expl(-integral 2z,dtr) = e^-2t/z
Multiplicando a equação por I(t) e integrando:
ddtl(u,e^-2t/zr) = -2,e^-2t/z Longrightarrow u,e^-2t/z = integral -2,e^-2t/z,dt + C
Fazendo a integral dá
integral -2,e^-2t/z,dt = z,e^-2t/z,
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u,e^-2t/z = z,e^-2t/z + C Longrightarrow u = z + C,e^2t/z

Passo 6

Voltando à variável original, u=y^-2, temos
y^-2 = z + C,e^2t/z Longrightarrow y(t) = pm1raiz,z + C,e^2t/z,,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(t) = pm1raiz,z + C,e^2t/z,,
com C constante arbitrária.

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