Calcular os limites seguintes:
lim x 1 x^3-4 x^2-3 xx^2+3 x-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 1 x^3-4 x^2-3 xx^2+3 x-4
Aqui, a gente está lidando com limites de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar a expressão e analisar o comportamento do numerador e do denominador conforme x se aproxima de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 1 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Numerador:
1^3 - 4 cdot 1^2 - 3 cdot 1 = 1 - 4 - 3 = -6
Denominador:
1^2 + 3 cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0
Então, ao substituir, temos -6/0. Isso significa que o denominador está se aproximando de zero enquanto o numerador está se aproximando de -6.

Passo 3

Quando o denominador de uma fração se aproxima de zero, precisamos analisar de que lado ele está se aproximando de zero para entender o comportamento do limite. Isso envolve verificar o sinal do denominador próximo a x = 1 .
Vamos fatorar o denominador para facilitar:
x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)
Então, o denominador é zero quando x = 1 . Agora, vamos ver o comportamento do denominador quando x se aproxima de 1 pela direita ( x > 1 ) e pela esquerda ( x < 1 ).

Passo 4

Para x se aproximando de 1 pela direita ( x to 1^+ ):
  • x - 1 é positivo (pois x > 1 )
  • x + 4 é positivo (sempre positivo para x próximo a 1)
Então, o denominador é positivo.
Como o numerador está se aproximando de -6 e o denominador está se aproximando de 0^+ , o limite tende a -infty.
Para x se aproximando de 1 pela esquerda ( x to 1^- ):
  • x - 1 é negativo (pois x < 1 )
  • x + 4 é positivo
Então, o denominador é negativo.
Com o numerador se aproximando de -6 e o denominador se aproximando de 0^- , o limite tende a +infty .

Passo 5

Como os limites laterais não são iguais (um tende a -infty e o outro a +infty ), o limite geral não existe no sentido tradicional. Porém, podemos dizer que o limite tende ao infinito, mas depende de como x se aproxima de 1.

Resposta

lim x 1 x^3-4 x^2-3 xx^2+3 x-4 = Não existe, pois tende a -infty quando x to 1^+ e +infty quando x to 1^- ã

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