Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI):
x y^t+y+x y equiv e^-x e y(1) equiv 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
x,y' + y + x,y = e^-x,
com condição inicial y(1)=0.
O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y' + P(x),y = Q(x)
Dividindo tudo por x (considerando xneq0, e no nosso PVI x>0), obtemos
y' + 1+xx,y = e^-xx
Aqui
P(x) = 1+xx, Q(x) = e^-xx

Passo 3

O fator integrante mu(x) é
mu(x) = exp!l(integral P(x),dxr) = exp!l(integral!l(tfrac1x + 1r),dxr) = expl(ln|x| + xr) = x,e^x

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x), fica
x e^x,y' + x e^x,1+xx,y = x e^x,e^-xx Longrightarrow ddxl(x e^xyr)=1
Integrando em x:
x e^xy = integral 1,dx = x + C

Passo 5

Isolando y:
y(x) = x + Cx e^x
Agora aplicamos y(1)=0:
0 = 1 + C1cdot e^1 Longrightarrow C = -1
Logo a solução do PVI é
y(x) = x - 1x,e^x = x-1x,e^-x

Resposta

y(x) = x-1x,e^-x

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