Resolva as equações diferencias dadas sujeitas as condiçōes iniciais indicadas:
(2 x y+x^2) y^prime=-(x+y)^2, y(1)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
(2xy + x^2) y' = -(x + y)^2, y(1) = 3
A matéria que a gente vai usar aqui é Equações Diferenciais Exatas. A gente vai precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaz essa condição para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata, que é:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
A nossa equação original é:
(2xy + x^2) y' = -(x + y)^2
Vamos reescrever essa equação para identificar $ M $ e $ N $:
M
Então, temos:
N

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, verificamos se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ é igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $:
M
y
Observamos que:
N
Então, as derivadas são iguais, o que confirma que a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função $ F(x, y) $ cuja derivada total é:
F(x, y)
Para encontrar $ F(x, y) $, integramos $ M $ em relação a $ x $:
dF = M , dx + N , dy
Expandindo $ \left(x + y\right)^{2} $:
F(x, y)
Integrando termo a termo:
M
Aqui, $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.

Passo 5

Agora, para encontrar $ h(y) $, derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N(x, y) $:
h(y)
Comparando os termos:
F(x, y)
Isso implica que $ h’(y) = 0 $, então $ h(y) $ é uma constante. Podemos chamar essa constante de $ C $.

Passo 6

Portanto, a função $ F(x, y) $ é:
F(x, y)
Essa é a solução geral da equação diferencial exata.

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial $ y(1) = 3 $ para encontrar o valor de $ C $:
y(1) = 3
Calculando:
C

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
x^33 + x^2y + y^2x = 373

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