Resolva as equações diferencias dadas sujeitas as condiçōes iniciais indicadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
A matéria que a gente vai usar aqui é Equações Diferenciais Exatas. A gente vai precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaz essa condição para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata, que é:
A nossa equação original é:
Vamos reescrever essa equação para identificar $ M $ e $ N $:
Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, verificamos se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ é igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $:
Observamos que:
Então, as derivadas são iguais, o que confirma que a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função $ F(x, y) $ cuja derivada total é:
Para encontrar $ F(x, y) $, integramos $ M $ em relação a $ x $:
Expandindo $ \left(x + y\right)^{2} $:
Integrando termo a termo:
Aqui, $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.
Passo 5
Agora, para encontrar $ h(y) $, derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N(x, y) $:
Comparando os termos:
Isso implica que $ h’(y) = 0 $, então $ h(y) $ é uma constante. Podemos chamar essa constante de $ C $.
Passo 6
Portanto, a função $ F(x, y) $ é:
Essa é a solução geral da equação diferencial exata.
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(1) = 3 $ para encontrar o valor de $ C $:
Calculando:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: