Resolva as equações diferencias:
Passo 1
Resumindo o enunciado: a gente precisa resolver a equação diferencial de primeira ordem
O assunto aqui é identificar se ela é exata e, se não for, achar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Escrevemos na forma
, com
e
.
Calculando as derivadas parciais: e
, que são diferentes, então a equação não é exata.
Calculando as derivadas parciais:
Passo 3
Como não é exata e não conseguimos fator só em
ou só em
, tentamos um fator integrante do tipo
. A condição de exatidão para
e
define uma equação em
.
Passo 4
Resolvendo essa condição na prática, a gente encontra
e
. Ou seja, o fator integrante é
Passo 5
Multiplicando a equação original por
, obtemos
e
Dá pra conferir que agora
e
, logo ficou exata.
Passo 6
Para achar a função potencial
, integramos
em
:
Em seguida, como
, temos em linha:
,
logo e
logo
Passo 7
A solução geral implícita vem de
, ou seja:
e reorganizando dá
Resposta
["
"]