Resolva as equações diferencias:
y d x+(x-12 x^2 y) d y=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: a gente precisa resolver a equação diferencial de primeira ordem
y,dx + l(x - tfrac12x^2yr),dy = 0
O assunto aqui é identificar se ela é exata e, se não for, achar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Escrevemos na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0, com
M(x,y)=y e N(x,y)=x-tfrac12x^2y.
Calculando as derivadas parciais: partial M/partial y=1 e partial N/partial x=1-xy, que são diferentes, então a equação não é exata.

Passo 3

Como não é exata e não conseguimos fator só em x ou só em y, tentamos um fator integrante do tipo mu(x,y)=x^m y^n. A condição de exatidão para tilde M=mu M e tilde N=mu N define uma equação em m,n.

Passo 4

Resolvendo essa condição na prática, a gente encontra m=-2 e n=-2. Ou seja, o fator integrante é
mu(x,y)=1x^2y^2

Passo 5

Multiplicando a equação original por mu, obtemos
tilde M(x,y)=1x^2y
e
tilde N(x,y)=1xy^2-12y
Dá pra conferir que agora partialtilde M/partial y=-tfrac1x^2y^2 e partialtilde N/partial x=-tfrac1x^2y^2, logo ficou exata.

Passo 6

Para achar a função potencial psi(x,y), integramos tilde M em x:
psi(x,y)=integral1x^2y,dx=-1xy+h(y)
Em seguida, como partialpsi/partial y=tilde N, temos em linha:
partialpsi/partial y=1xy^2+h'(y)=1xy^2-12y,
logo h'(y)=-12y e
h(y)=-tfrac12ln|y|

Passo 7

A solução geral implícita vem de psi(x,y)=C, ou seja:
-1xy-12ln|y|=C
e reorganizando dá

Resposta

[" 1x y + 12ln|y| = C"]

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