Resolva as equações de Euler para x > 0 :
x^2 d^2y/dx^2 + 3x dy/dx + 3y = 0
R: y = (1/x) [c1 cos(raiz(2) ln(x)) + c2 sen(raiz(2) ln(x))]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Euler que é assim:
Esse tipo de equação aparece quando temos coeficientes que são potências de . Para resolver, vamos usar uma substituição que transforma essa equação em uma equação com coeficientes constantes, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição . Isso significa que e, portanto, quando derivamos em relação a , precisamos usar a regra da cadeia.
Vamos calcular as derivadas:
  • A primeira derivada de em relação a :
  • A segunda derivada de em relação a :

Passo 3

Substituindo essas derivadas na equação original:
Simplificando:

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
Para resolver, encontramos as raízes da equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 5

Com raízes complexas da forma , a solução geral é:
No nosso caso, e , então:

Passo 6

Lembrando que fizemos a substituição , então substituímos de volta:
Sabendo que , temos:

Resposta

A solução geral da equação de Euler dada é:

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