Supondo que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que F(x, y, z)=x i+y j+z k mostre que
V(E)=13 integral duplaS F cdot d S

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que o volume de uma região pode ser calculado usando uma integral de superfície envolvendo o campo vetorial . O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência, que relaciona integrais de volume com integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar entender e aplicar esse teorema passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que para um campo vetorial integral triplaE (nabla cdot F) , dV = integral duplaS F cdot dS e uma região com fronteira suave :
Aqui, é a divergência de , e é um elemento de área orientado da superfície .

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo nabla cdot F = partialpartial x(x) + partialpartial y(y) + partialpartial z(z) . A divergência é dada por:
partialpartial x(x) = 1, partialpartial y(y) = 1, partialpartial z(z) = 1
Calculando cada derivada:
nabla cdot F = 1 + 1 + 1 = 3
Então,

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema da Divergência:
integral triplaE 3 , dV = integral duplaS F cdot dS
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 3:
integral triplaE dV = 13 integral duplaS F cdot dS

Passo 5

A integral tripla V(E) = 13 integral duplaS F cdot dS representa o volume de , ou seja, . Portanto, temos:

Resposta

Concluímos que o volume V(E) = 13 integral duplaS F cdot dS da região é igual a um terço da integral de superfície do campo sobre , ou seja:

Exercícios relacionados