Resolva as equações exponenciais:
4 \cdot 3^{x+2}+5 \cdot 3^{x}-7 \cdot 3^{x+1}=40

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação exponencial
4 \cdot 3^{x+2} \;+\; 5 \cdot 3^{x} \;-\; 7 \cdot 3^{x+1} \;=\; 40.
O conteúdo exigido é manipulação de potências (propriedade 3^{x+a}=3^x\cdot3^a), fatoração de 3^x e uso de logaritmo para isolar x.

Passo 2

Aplicamos a propriedade de potências:
3^{x+2}=3^x\cdot3^2=9\cdot3^x \quad\text{e}\quad 3^{x+1}=3^x\cdot3=3\cdot3^x.
Substituindo na equação original, obtemos
4\cdot(9\cdot3^x)+5\cdot3^x-7\cdot(3\cdot3^x)=40.

Passo 3

Fatoramos 3^x do lado esquerdo:
\bigl(4\cdot9 + 5 - 7\cdot3\bigr)\cdot3^x = 40.
Calculando os coeficientes 4\cdot9=36 e 7\cdot3=21, vem
(36 + 5 - 21)\cdot3^x = 40 \quad\Longrightarrow\quad 20\cdot3^x = 40.

Passo 4

Isolamos 3^x dividindo ambos os lados por 20:
3^x = \frac{40}{20} = 2.

Passo 5

Tomamos logaritmo (ainda que em qualquer base) para achar x. Usando logaritmo natural,
x = \frac{\ln(2)}{\ln(3)}.

Resposta

x = \dfrac{\ln(2)}{\ln(3)}

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