Verifique se a função é par ou ímpar.
\frac{\sqrt{1+\operatorname{sen} x}}{\cos x}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x) = \frac{\sqrt{\,1 + \sin x\,}}{\cos x}
é par (isto é, se f(-x)=f(x)) ou ímpar (se f(-x)=-f(x)). Vamos usar a definição de função par e ímpar.

Passo 2

Lembrando as definições:
f é par se, para todo x do domínio,
f(-x)=f(x).
f é ímpar se, para todo x do domínio,
f(-x) = -\,f(x).

Passo 3

Calculamos f(-x) trocando x por -x na expressão dada:
f(-x) = \frac{\sqrt{\,1 + \sin(-x)\,}}{\cos(-x)} = \frac{\sqrt{\,1 - \sin x\,}}{\cos x},
pois \sin(-x)=-\sin x e \cos(-x)=\cos x.

Passo 4

Comparamos f(-x) com f(x) e -f(x):
  1. f(x)=\dfrac{\sqrt{\,1+\sin x\,}}{\cos x}.
    Para ser par, precisaríamos
\frac{\sqrt{1-\sin x}}{\cos x} \stackrel{?}{=} \frac{\sqrt{1+\sin x}}{\cos x},
o que não vale para todo x (só quando \sin x=0).
  1. Para ser ímpar, precisaríamos
\frac{\sqrt{1-\sin x}}{\cos x} \stackrel{?}{=} -\,\frac{\sqrt{1+\sin x}}{\cos x},
mas o lado esquerdo é não-negativo (raiz quadrada) e o direito é não-positivo, então também não coincide em geral.
Portanto f(-x) não é igual nem a f(x) nem a -f(x).

Resposta

A função não é par nem ímpar.

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