Resolva as equações exponenciais:
3 \cdot 4^{x}+\frac{1}{3} \cdot 9^{x+2}=6 \cdot 4^{x+1}-\frac{1}{2} \cdot 9^{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
3 \cdot 4^{x} + \frac{1}{3} \cdot 9^{x+2} = 6 \cdot 4^{x+1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1}.
O conteúdo envolve propriedades de potências e exponentes. Vamos usar que 4^{x+1}=4\cdot4^x, 9^{x+2}=9^2\cdot9^x e 9^{x+1}=9\cdot9^x.

Passo 2

Aplicando as propriedades de potência temos
4^{x+1}=4\cdot4^x,\quad 9^{x+2}=81\cdot9^x,\quad 9^{x+1}=9\cdot9^x.
Substituindo na equação original:
3\cdot4^x + \frac{1}{3}\cdot(81\cdot9^x) \;=\; 6\cdot(4\cdot4^x)\;-\;\frac{1}{2}\cdot(9\cdot9^x).

Passo 3

Simplificando cada termo:
3\cdot4^x + 27\cdot9^x = 24\cdot4^x - \frac{9}{2}\cdot9^x.
Agora colocamos tudo num lado:
3\cdot4^x -24\cdot4^x \;+\;27\cdot9^x + \frac{9}{2}\cdot9^x =0
-21\cdot4^x + \frac{63}{2}\cdot9^x = 0.

Passo 4

Isolamos a relação entre 9^x e 4^x:
\frac{63}{2}\,9^x = 21\,4^x \quad\Longrightarrow\quad \frac{9^x}{4^x} = \frac{21}{63/2} = \frac{21\cdot2}{63} = \frac{3}{1} = 3.
Logo
\left(\frac{9}{4}\right)^x = 3.
Como \frac{9}{4} = \bigl(\frac{3}{2}\bigr)^2, tem-se
\Bigl(\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^2\Bigr)^x = 3 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2x} = 3 = \bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^1\cdot2
é mais direto usar logaritmo:
2x\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr) = \ln3 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\ln3}{2\ln(\tfrac{3}{2})}.
Mas note que \ln3 = \ln\bigl((3/2)\cdot2\bigr)=\ln(\tfrac{3}{2})+\ln2, poderíamos ter seguido outra via. A forma mais simples é reconhecer que da etapa anterior ficaria
3^{2x+1} = 2^{2x+1} \quad\Longrightarrow\quad 2x+1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -\tfrac12.

Resposta

x = -\tfrac12

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