Resolva as equações exponenciais:
9^{3-5 x} \cdot 7^{5 x-3}=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
9^{3-5x}\,\cdot\,7^{5x-3}=1.
Para isso, vamos usar propriedades de logaritmos:
  1. \ln(ab)=\ln a+\ln b.
  2. \ln(a^k)=k\ln a.

Passo 2

Aplicando \ln em ambos os lados, obtemos
\ln\bigl(9^{3-5x}\cdot7^{5x-3}\bigr)=\ln1=0.
Pelo logaritmo de produto e de potência, isso vira
(3-5x)\ln9\;+\;(5x-3)\ln7=0.

Passo 3

Expandindo e agrupando termos em x:
3\ln9 -5x\ln9 +5x\ln7 -3\ln7=0
x\bigl(5\ln7-5\ln9\bigr)+3(\ln9-\ln7)=0.
Isolando x:
x=\frac{-3(\ln9-\ln7)}{5(\ln7-\ln9)}.
Como \ln7-\ln9=-(\ln9-\ln7), simplifica para
x=\frac{3}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{5}

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