Resolva as equações exponenciais:
3^{2 x-1} \cdot 5^{3 x+2}=\frac{9}{5} \cdot 5^{2 x} \cdot 3^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação exponencial
3^{2x-1} \cdot 5^{3x+2} = \frac{9}{5} \cdot 5^{2x} \cdot 3^{3x}.
Usaremos propriedades de potências e o fato de que 3 e 5 são bases distintas para igualar expoentes.

Passo 2

Escrevemos \frac{9}{5} como produto de potências de 3 e 5:
\frac{9}{5} = \frac{3^2}{5^1} = 3^2 \cdot 5^{-1}.
Logo a equação vira
3^{2x-1}\cdot 5^{3x+2} = 3^2 \cdot 5^{-1} \cdot 3^{3x} \cdot 5^{2x}.

Passo 3

Agrupamos as potências de 3 e de 5 em cada lado:
  • Lado esquerdo: expoentes de 3 é 2x-1 e de 5 é 3x+2.
  • Lado direito: expoente de 3 é 2+3x e de 5 é -1+2x.
    Como 3 e 5 são primos distintos, os expoentes devem ser iguais:
2x-1 = 3x+2, \qquad 3x+2 = 2x-1.

Passo 4

Resolvendo cada igualdade:
2x -1 = 3x +2 \implies -1 -2 = 3x -2x \implies x = -3,
3x +2 = 2x -1 \implies 3x -2x = -1 -2 \implies x = -3.
As duas equações fornecem a mesma solução.

Resposta

x = -3

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