Resolva as equações:
\frac{d y}{d x}=\sin (x-y)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=\sin\bigl(x-y\bigr)
O conteúdo é EDO de variáveis separáveis após a substituição certa. Vamos usar a mudança de variável u=x-y.

Passo 2

Defina
u = x - y.
Então
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x-y)=1 - \frac{dy}{dx}=1 - \sin(u).

Passo 3

Reescrevendo a equação em termos de u, temos
\frac{du}{dx}=1-\sin(u) \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{1-\sin(u)} = dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{du}{1-\sin(u)} = \int dx = x + C.
Para calcular a integral em u, multiplique numerador e denominador por 1+\sin(u):
\frac{1}{1-\sin(u)}\cdot\frac{1+\sin(u)}{1+\sin(u)} =\frac{1+\sin(u)}{1-\sin^2(u)} =\frac{1+\sin(u)}{\cos^2(u)} =\operatorname{sec}^2(u)+\operatorname{sec}(u)\tan(u).
Logo
\int\bigl(\operatorname{sec}^2(u)+\operatorname{sec}(u)\tan(u)\bigr)\,du =\tan(u)+\operatorname{sec}(u)+C_1.

Passo 5

Igualando ao lado direito, obtemos
\tan(u)+\operatorname{sec}(u)=x + C,
onde C é constante geral.

Passo 6

Voltando à variável original u=x-y, chegamos à solução implícita
\tan\bigl(x-y\bigr)+\operatorname{sec}\bigl(x-y\bigr)=x + C.

Resposta

\tan\bigl(x-y\bigr)+\operatorname{sec}\bigl(x-y\bigr)=x + C.

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