Resolva as equações:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede sua solução geral. O conteúdo é de equações exatas: vamos verificar a condição de exatidão e, em seguida, encontrar a função potencial cujo diferencial total anula essa combinação.
Passo 2
Definimos
e
. Verificamos a exatidão conferindo se
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 3
Buscamos uma função potencial
tal que
e
. Integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a relação implícita da solução geral:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por: