Resolva as equações:
(2 x y+3) d x+\left(x^{2}-1\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(2xy + 3)\,dx + (x^2 - 1)\,dy = 0
e pede sua solução geral. O conteúdo é de equações exatas: vamos verificar a condição de exatidão e, em seguida, encontrar a função potencial cujo diferencial total anula essa combinação.

Passo 2

Definimos M(x,y) = 2xy + 3 e N(x,y) = x^2 - 1. Verificamos a exatidão conferindo se
\frac{\partial M}{\partial y} = 2x \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x} = 2x.
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos uma função potencial \psi(x,y) tal que \psi_x = M e \psi_y = N. Integramos M em relação a x:
\psi(x,y) = \int (2xy + 3)\,dx = x^2y + 3x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Para determinar h(y), derivamos \psi em relação a y e igualamos a N:
\psi_y = x^2 + h'(y) \quad\overset{!}{=}\quad x^2 - 1 \quad\implies\quad h'(y) = -1 \quad\implies\quad h(y) = -y.

Passo 5

Substituindo h(y) em \psi, obtemos a relação implícita da solução geral:
\psi(x,y) = x^2y + 3x - y = C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
x^2y - y + 3x = C.

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