Resolva os PVIs:
t^{-1} \frac{d y}{d t}=2 \cos ^{2} y, \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
t^{-1}\frac{dy}{dt}=2\cos^{2}y,\qquad y(0)=2.
Trata-se de uma EDO de variáveis separáveis, pois podemos isolar y de um lado e t do outro.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por t, obtemos a forma mais simples da EDO:
\frac{dy}{dt}=2\,t\cos^{2}y.

Passo 3

Separemos as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em t do outro:
\frac{1}{\cos^{2}y}\,dy=2\,t\,dt.
Agora integramos cada lado:
\int\operatorname{sec}^{2}y\,dy=\int2\,t\,dt.
Como \displaystyle\int\operatorname{sec}^{2}y\,dy=\tan y e \displaystyle\int2\,t\,dt=t^{2}+C, segue
\tan y=t^{2}+C.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=2. Em t=0, a relação \tan y= t^{2}+C vira
\tan(2)=0^{2}+C\quad\Longrightarrow\quad C=\tan(2).
Logo, a solução geral ajustada ao PVI é
\tan y=t^{2}+\tan(2).
Desfazendo a tangente, obtemos
y(t)=\arctan\bigl(t^{2}+\tan(2)\bigr).

Resposta

y(t)=\arctan\bigl(t^{2}+\tan(2)\bigr).

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