Resolva as equações:
d x+\left(\frac{x}{y}-\sin y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a diferencial\r
\;d x+\Bigl(\frac{x}{y}-\sin y\Bigr)\,d y=0\r
e pede a solução geral. Isto é um caso de equação diferencial na forma\r
\;M(x,y)\,d x+N(x,y)\,d y=0\r
com M(x,y)=1 e N(x,y)=\frac{x}{y}-\sin y. Vamos verificar se é exata ou se precisa de fator integrante.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:\r
\frac{\partial M}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{1}{y}.\r
Como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x, a equação não é exata. Buscamos um fator integrante \mu que dependa só de y, usando\r
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}=\frac{1/y-0}{1}=\frac{1}{y},\r
que depende apenas de y.

Passo 3

O fator integrante é\r
\mu(y)=\exp\Bigl(\int\frac{1}{y}\,dy\Bigr)=\exp(\ln y)=y.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(y)=y:\r
y\,d x+\bigl(x - y\sin y\bigr)\,d y=0.\r
Agora M^*(x,y)=y e N^*(x,y)=x - y\sin y. Verificamos:\r
\frac{\partial M^*}{\partial y}=1,\quad \frac{\partial N^*}{\partial x}=1,\r
logo a equação é exata.

Passo 5

Procuramos uma função F(x,y) tal que\r
\frac{\partial F}{\partial x}=M^*(x,y)=y.\r
Integrando em relação a x,\r
F(x,y)=xy + h(y),\r
onde h(y) é função a determinar.

Passo 6

Usamos agora\r
\frac{\partial F}{\partial y}=x + h'(y)=N^*(x,y)=x - y\sin y.\r
Igualando,\r
h'(y)=-\,y\sin y.\r
Integramos por partes:\r
\int y\sin y\,dy =-\,y\cos y+\int\cos y\,dy =-\,y\cos y+\sin y.\r
Logo\r
h(y)=-\bigl(-y\cos y+\sin y\bigr)=y\cos y-\sin y.

Resposta

A solução geral é dada por\r
xy + y\cos y - \sin y = C,\r
onde C é constante de integração.

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