A condição é que o determinante dessa matriz seja igual a -3, ou seja
\left|\begin{array}{lll}2 & x & 2 \\[2pt] 1 & 1 & x \\[2pt] 1 & 1 & 6\end{array}\right| = -3.
O que se pede: encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade.]
Passo 2
Primeiro, vou explicar uma forma prática de calcular determinante de matriz 3\times3: a regra de Sarrus. Ela vale apenas para 3\times3 e consiste em somar os produtos das três diagonais descendentes (da esquerda para a direita) e subtrair a soma dos produtos das três diagonais ascendentes (da direita para a esquerda).
Se a matriz for
\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix},
então, pela regra de Sarrus,
\det = aei + bfg + cdh - (ceg + afh + bdi).
Aqui cada termo é um produto de três elementos que formam uma diagonal. É uma técnica direta e rápida para 3\times3, fácil de fazer à mão na prova.]
Passo 3
Vou identificar os elementos da nossa matriz com os símbolos padrão para aplicar Sarrus:
a=2,\quad b=x,\quad c=2,
d=1,\quad e=1,\quad f=x,
g=1,\quad h=1,\quad i=6.
Agora calculo os três produtos positivos aei, bfg e cdh e somo:
Agora resolvo a equação quadrática \,x^{2} - 8x + 15 = 0. Vou usar fatoração (é simples porque os coeficientes são pequenos): procuro dois números cujo produto seja 15 e cuja soma seja -8. Esses números são -3 e -5, pois (-3)\cdot(-5)=15 e (-3)+(-5)=-8. Logo a fatoração é
x^{2} - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5).
Portanto as raízes são \,x=3 e \,x=5.
Passo 8
Como verificação rápida (sempre bom na prova): substituindo em x^{2}-8x+12,