Resolva as equações:
(g) \left|\begin{array}{lll}2 & x & 2 \\\\ 1 & 1 & x \\\\ 1 & 1 & 6\end{array}\right|=-3

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação determinada por uma igualdade envolvendo o determinante de uma matriz 3\times3. As informações dadas são:
  • A matriz é
\begin{pmatrix} 2 & x & 2\\[4pt] 1 & 1 & x\\[4pt] 1 & 1 & 6 \end{pmatrix}.
  • A condição é que o determinante dessa matriz seja igual a -3, ou seja
\left|\begin{array}{lll}2 & x & 2 \\[2pt] 1 & 1 & x \\[2pt] 1 & 1 & 6\end{array}\right| = -3.
O que se pede: encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade.]

Passo 2

Primeiro, vou explicar uma forma prática de calcular determinante de matriz 3\times3: a regra de Sarrus. Ela vale apenas para 3\times3 e consiste em somar os produtos das três diagonais descendentes (da esquerda para a direita) e subtrair a soma dos produtos das três diagonais ascendentes (da direita para a esquerda).
Se a matriz for
\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix},
então, pela regra de Sarrus,
\det = aei + bfg + cdh - (ceg + afh + bdi).
Aqui cada termo é um produto de três elementos que formam uma diagonal. É uma técnica direta e rápida para 3\times3, fácil de fazer à mão na prova.]

Passo 3

Vou identificar os elementos da nossa matriz com os símbolos padrão para aplicar Sarrus:
a=2,\quad b=x,\quad c=2,
d=1,\quad e=1,\quad f=x,
g=1,\quad h=1,\quad i=6.
Agora calculo os três produtos positivos aei, bfg e cdh e somo:
aei = 2\cdot 1\cdot 6 = 12,
bfg = x\cdot x\cdot 1 = x^{2},
cdh = 2\cdot 1\cdot 1 = 2.
Somando:
\text{soma positiva} = x^{2} + 12 + 2 = x^{2} + 14.

Passo 4

Agora calculo os três produtos que entram com sinal negativo: ceg, afh e bdi:
ceg = 2\cdot 1\cdot 1 = 2,
afh = 2\cdot x\cdot 1 = 2x,
bdi = x\cdot 1\cdot 6 = 6x.
Somando:
\text{soma negativa} = 2 + 2x + 6x = 2 + 8x.

Passo 5

Subtraindo a soma negativa da positiva temos o determinante em função de x:
\left|\begin{array}{lll}2 & x & 2 \\[2pt] 1 & 1 & x \\[2pt] 1 & 1 & 6\end{array}\right| = \bigl(x^{2} + 14\bigr) - \bigl(2 + 8x\bigr) = x^{2} - 8x + 12.]

Passo 6

A equação dada é que esse determinante vale -3. Então igualo e resolvo:
x^{2} - 8x + 12 = -3.
Levo todos os termos para o mesmo lado:
x^{2} - 8x + 12 + 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x^{2} - 8x + 15 = 0.

Passo 7

Agora resolvo a equação quadrática \,x^{2} - 8x + 15 = 0. Vou usar fatoração (é simples porque os coeficientes são pequenos): procuro dois números cujo produto seja 15 e cuja soma seja -8. Esses números são -3 e -5, pois (-3)\cdot(-5)=15 e (-3)+(-5)=-8. Logo a fatoração é
x^{2} - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5).
Portanto as raízes são \,x=3 e \,x=5.

Passo 8

Como verificação rápida (sempre bom na prova): substituindo em x^{2}-8x+12,
\text{para }x=3:\quad 3^{2}-8\cdot3+12 = 9-24+12 = -3,
\text{para }x=5:\quad 5^{2}-8\cdot5+12 = 25-40+12 = -3.
Ambos satisfazem a condição original.

Resposta

x=3\n x=5

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