Resolva as equações homogêneas de segunda ordem:
y^prime prime-y^prime-30 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem: $ y’’ - y’ - 30y = 0 $. Esse tipo de equação aparece quando queremos modelar sistemas que dependem da segunda derivada de uma função, como movimentos oscilatórios ou crescimento populacional. Para resolver, vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais com coeficientes constantes, que envolve encontrar as soluções características dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução da equação tem a forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é um número que vamos determinar. Ao substituir essa forma na equação original, precisamos calcular as derivadas:
y = e^rt
Substituindo na equação:
r

Passo 3

Podemos fatorar $ e^{rt} $ da equação:
e^rt
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, a equação se reduz a:
e^rt (r^2 - r - 30) = 0

Passo 4

Agora, temos uma equação quadrática característica:
r^2 - r - 30 = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r
Onde $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = -30 $.

Passo 5

Calculando o discriminante ($ \Delta $):
De
Como $ \Delta > 0 $, teremos duas raízes reais e distintas.

Passo 6

Calculando as raízes:
r = 1 pm raiz1212 = 1 pm 112
Portanto:
r1 = 1 + 112 = 6 e r2 = 1 - 112 = -5

Passo 7

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz:
y(t) = C1 e^6t + C2 e^-5t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que dependem das condições iniciais do problema.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^6t + C2 e^-5t

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