Resolva as equações homogêneas de segunda ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem: $ y’’ - y’ - 30y = 0 $. Esse tipo de equação aparece quando queremos modelar sistemas que dependem da segunda derivada de uma função, como movimentos oscilatórios ou crescimento populacional. Para resolver, vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais com coeficientes constantes, que envolve encontrar as soluções características dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução da equação tem a forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é um número que vamos determinar. Ao substituir essa forma na equação original, precisamos calcular as derivadas:
Substituindo na equação:
Passo 3
Podemos fatorar $ e^{rt} $ da equação:
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, a equação se reduz a:
Passo 4
Agora, temos uma equação quadrática característica:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = -30 $.
Passo 5
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Como $ \Delta > 0 $, teremos duas raízes reais e distintas.
Passo 6
Calculando as raízes:
Portanto:
Passo 7
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que dependem das condições iniciais do problema.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: