Resolva as equações homogêneas de segunda ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: $ y’’ - y’ + 30y = 0 $. Isso é uma equação homogênea linear, e para resolver, vamos precisar usar o método dos coeficientes constantes. Basicamente, vamos achar uma solução que satisfaça essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial assim, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é um número que precisamos descobrir. Derivando isso, temos:
Substituindo na equação original:
Dividindo tudo por $ e^{rt} $ (que nunca é zero):
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática $ r^2 - r + 30 = 0 $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $, e $ c = 30 $. Calculando o discriminante $ \Delta $:
Como o discriminante é negativo, teremos raízes complexas.
Passo 4
As raízes são:
Isso significa que a solução geral da equação diferencial será uma combinação de funções seno e cosseno.
Passo 5
A forma geral da solução para raízes complexas $ \alpha \pm \beta i $ é:
No nosso caso, $ \alpha = \frac{1}{2} $ e $ \beta = \frac{\sqrt{119}}{2} $.
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ y’’ - y’ + 30y = 0 $ é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais.