Resolva as equações homogêneas de segunda ordem:
y^prime prime-y^prime+30 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: $ y’’ - y’ + 30y = 0 $. Isso é uma equação homogênea linear, e para resolver, vamos precisar usar o método dos coeficientes constantes. Basicamente, vamos achar uma solução que satisfaça essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial assim, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é um número que precisamos descobrir. Derivando isso, temos:
y = e^rt
Substituindo na equação original:
r
Dividindo tudo por $ e^{rt} $ (que nunca é zero):
y' = r e^rt y'' = r^2 e^rt

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação quadrática $ r^2 - r + 30 = 0 $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r^2 - r + 30 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $, e $ c = 30 $. Calculando o discriminante $ \Delta $:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Como o discriminante é negativo, teremos raízes complexas.

Passo 4

As raízes são:
r = 1 pm raiz-1192 = 12 pm raiz1192i
Isso significa que a solução geral da equação diferencial será uma combinação de funções seno e cosseno.

Passo 5

A forma geral da solução para raízes complexas $ \alpha \pm \beta i $ é:
alpha pm beta i
No nosso caso, $ \alpha = \frac{1}{2} $ e $ \beta = \frac{\sqrt{119}}{2} $.

Resposta

A solução geral da equação diferencial $ y’’ - y’ + 30y = 0 $ é:
y'' - y' + 30y = 0
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais.

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