Resolva as equaçōes:
\left(5^{x}\right)^{x}=\left(25^{2}\right)^{y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
(5^{x})^{x} = (25^{2})^{y}.
O conteúdo aqui é equações exponenciais e usaremos propriedades de potências para reescrever tudo com base 5 e depois igualar expoentes, já que a função exponencial de base fixa é injetora.

Passo 2

Reescrevemos o lado esquerdo usando (a^b)^c = a^{b c}:
(5^{x})^{x} = 5^{x\cdot x} = 5^{x^2}.

Passo 3

Reescrevemos o lado direito sabendo que 25 = 5^2 e aplicando de novo (a^b)^c = a^{b c}:
(25^{2})^{y} = \bigl((5^2)^{2}\bigr)^{y} = (5^{4})^{y} = 5^{4y}.

Passo 4

Agora temos
5^{x^2} = 5^{4y}.
Como a função 5^t é injetora, concluímos que os expoentes são iguais, ou seja,
x^2 = 4y.

Passo 5

Isolando y, obtemos a relação entre x e y:
y = \frac{x^2}{4}.

Resposta

A solução geral da equação é
y = \frac{x^2}{4},
com x e y reais satisfazendo essa relação.

Exercícios relacionados