Resolva as equações e inequações com módulos.
\left|x^{2}+2 x\right|=8

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação com valor absoluto
\lvert x^{2} + 2x\rvert = 8.
O conteúdo envolve a definição de módulo e a resolução de equações quadráticas.

Passo 2

Para qualquer expressão A e número B\ge0, vale
\lvert A\rvert = B \quad\Longleftrightarrow\quad A = B \quad\text{ou}\quad A = -B.
Aqui A = x^{2} + 2x e B = 8.

Passo 3

Primeiro caso:
x^{2} + 2x = 8
Reescrevendo como equação quadrática:
x^{2} + 2x - 8 = 0.

Passo 4

Calculamos o discriminante
\Delta = b^{2} - 4ac = 2^{2} - 4\cdot1\cdot(-8) = 4 + 32 = 36.
As raízes são
x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2},
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x_{1} = 2,\quad x_{2} = -4.

Passo 5

Segundo caso:
x^{2} + 2x = -8
que vira
x^{2} + 2x + 8 = 0.
Aqui
\Delta = 2^{2} - 4\cdot1\cdot8 = 4 - 32 = -28 < 0,
não há raízes reais.

Passo 6

As únicas soluções reais da equação original são
x = 2 \quad\text{ou}\quad x = -4.

Resposta

x = 2 ou x = -4

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