Resolva as equações e inequações com módulos.
\left|x^{2}+2 x\right| \leq 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valor absoluto
\left|x^{2}+2x\right|\le 3.
O conteúdo aqui é inequação com módulo, e vamos usar a definição de módulo que diz que
\left|u\right|\le a\quad\Longleftrightarrow\quad -a\le u\le a,
desde que a\ge0.

Passo 2

Aplicando essa definição com u=x^2+2x e a=3, obtemos a desigualdade composta
-3\le x^2+2x\le 3.

Passo 3

Podemos entender isso como o sistema de duas condições simultâneas:
  1. x^2+2x-3\le0,
  2. x^2+2x+3\ge0.

Passo 4

Para resolver x^2+2x-3\le0, encontramos as raízes da equação associada
x^2+2x-3=0
pelas fórmulas de Bhaskara:
x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1} =\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2} =\frac{-2\pm4}{2},
logo as raízes são x=-3 e x=1. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e a desigualdade x^2+2x-3\le0 vale exatamente entre as raízes:
-3\le x\le 1.

Passo 5

Agora, para x^2+2x+3\ge0, calculamos o discriminante
\Delta = 2^2 - 4\cdot1\cdot3 = 4 - 12 = -8 < 0.
Como \Delta<0 e o coeficiente de x^2 é positivo, a expressão x^2+2x+3 é sempre positiva para todo x\in\mathbb{R}. Logo essa segunda condição é satisfeita para qualquer x.

Passo 6

A solução final é a interseção das duas condições, ou seja,
x\in[-3,1]\cap\mathbb{R} = [-3,1].

Resposta

[-3,1]

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