Resolva as equações e inequações com módulos.
|x+3| \leq|5-2 x|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação \lvert x+3\rvert \le \lvert 5-2x\rvert.
Esse tipo de questão envolve valor absoluto, e vamos usar a propriedade de que para quaisquer A e B reais,
\lvert A\rvert \le \lvert B\rvert
é equivalente a
A^2 \le B^2.

Passo 2

Aplicando essa ideia, definimos
A = x + 3, \quad B = 5 - 2x,
e reescrevemos a inequação como
(x+3)^2 \le (5-2x)^2.

Passo 3

Para comparar os quadrados, trazemos tudo para um lado:
(5-2x)^2 - (x+3)^2 \ge 0.
Em seguida usamos a diferença de quadrados:
(5-2x - (x+3))\,(5-2x + (x+3)) \ge 0.

Passo 4

Simplificando cada fator:
5-2x - x -3 = 2 - 3x, \qquad 5-2x + x +3 = 8 - x.
Logo a inequação vira
(2 - 3x)\,(8 - x) \ge 0.

Passo 5

Para resolver (2-3x)(8-x)\ge0, identificamos as raízes:
2 - 3x = 0 \implies x = \tfrac{2}{3}, \qquad 8 - x = 0 \implies x = 8.
Fazemos o estudo de sinais:
  • Para x<\tfrac{2}{3}, ambos os fatores são positivos 2-3x>0 e 8-x>0, produto positivo.
  • Para \tfrac{2}{3}<x<8, um fator é negativo e o outro positivo, produto negativo.
  • Para x>8, ambos são negativos, produto positivo.
    Incluímos também os pontos onde o produto é zero, pois a inequação é “ \ge0”.

Resposta

A solução da inequação é
x \in \bigl(-\infty,\tfrac{2}{3}\bigr]\;\cup\;\bigl[8,\infty\bigr).

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