Resolva as equações:
\left(2\left(x y{2}-\frac{1}{x{3}}\right)+\left(2 x^{2} y-\frac{1}{y^{2}}\right) \frac{d y}{d x}=0\right).

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial de primeira ordem
2l(xy^2-tfrac1x^3r)+l(2x^2y-tfrac1y^2r)dydx=0
Este problema é de equações diferenciais exatas. Vamos escrever na forma
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
com
M(x,y)=2l(xy^2-x^-3r), N(x,y)=2x^2y-y^-2

Passo 2

Verificamos a exatidão checando se
partial Mpartial y =2cdot2xy =4xy, partial Npartial x =2cdot2xy =4xy
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial Phi(x,y) tal que Phix=M. Integramos M em relação a x:
Phi(x,y) =integral 2l(xy^2-x^-3r),dx =2l(y^2tfracx^22-tfracx^-2-2r) =x^2y^2+x^-2+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo Phiy=N, temos
Phiy =2x^2y + h'(y) stackrel!=2x^2y - y^-2 Longrightarrow h'(y)=-y^-2 Longrightarrow h(y)=integral -y^-2,dy = y^-1
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Phi(x,y)=x^2y^2+x^-2+y^-1

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
x^2y^2 + x^-2 + y^-1 = C,
onde C é constante arbitrária.

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