Resolva as equações:
\left(2\left(x y{2}-\frac{1}{x{3}}\right)+\left(2 x^{2} y-\frac{1}{y^{2}}\right) \frac{d y}{d x}=0\right).
\left(2\left(x y{2}-\frac{1}{x{3}}\right)+\left(2 x^{2} y-\frac{1}{y^{2}}\right) \frac{d y}{d x}=0\right).
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial de primeira ordem
Este problema é de equações diferenciais exatas. Vamos escrever na forma
com
Passo 2
Verificamos a exatidão checando se
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos uma função potencial
tal que
. Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Impondo
, temos
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Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
onde
é constante arbitrária.