Resolva as equações:
\left(a y x^{2}+b y\right) y^{\prime}-x=0, \quad \text { para } a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(a\,y\,x^{2} + b\,y)\,y' - x = 0
onde a,b\in\mathbb{R} e a\neq0. Reconhecemos uma equação de primeira ordem do tipo separável.

Passo 2

Isolamos y' para obter uma forma que permita separar variáveis:
y' = \frac{x}{y\,(a\,x^{2} + b)}.

Passo 3

Agora separamos as variáveis, levando termos em y para o lado esquerdo e em x para o direito:
y\,dy = \frac{x}{a\,x^{2} + b}\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int y\,dy = \int \frac{x}{a\,x^{2} + b}\,dx.
No lado esquerdo fica
\frac{y^{2}}{2},
e, usando u = a\,x^{2}+b, du=2a\,x\,dx, o lado direito é
\int \frac{x}{a\,x^{2} + b}\,dx = \frac{1}{2a}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2a}\ln\bigl|a\,x^{2}+b\bigr| + C.
Portanto
\frac{y^{2}}{2} = \frac{1}{2a}\ln\bigl|a\,x^{2}+b\bigr| + C.

Passo 5

Multiplicamos por 2 e reagrupamos a constante de integração C_1=2C para escrever a solução de forma habitual:
y^{2} = \frac{1}{a}\,\ln\bigl|a\,x^{2}+b\bigr| + C_{1},
ou equivalentemente
y^{2} - \frac{1}{a}\ln\bigl|a\,x^{2}+b\bigr| = C_{1}.

Resposta

A solução geral da equação é
y^{2} = \frac{1}{a}\,\ln\bigl|a\,x^{2}+b\bigr| + C,
com C constante arbitrária.

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