Resolva cada PVI abaixo:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+(1-2 x) y=x e^{-x} \\\ y(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' + (1-2x)\,y = x e^{-x}, \quad y(0)=2,
que é uma equação linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos
p(x)=1-2x, \quad q(x)=x e^{-x}.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) =\exp\!\Bigl(\int(1-2x)\,dx\Bigr) =\exp\bigl(x - x^2\bigr).

Passo 3

Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
\bigl(\mu(x)\,y\bigr)' = \mu(x)\,q(x) = e^{\,x - x^2}\,x e^{-x} = x e^{-x^2}.
Agora integramos em x:
\int x e^{-x^2}\,dx = -\tfrac12 e^{-x^2} + C.
Logo
\mu(x)\,y = -\tfrac12 e^{-x^2} + C.

Passo 4

Isolando y, usando \mu(x)=e^{\,x - x^2}, vem
y = \frac{-\tfrac12 e^{-x^2} + C}{e^{\,x - x^2}} = -\tfrac12 e^{-x} \;+\; C\,e^{\,x^2 - x}.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=2:
2 = -\tfrac12 e^{0} + C\,e^{0} = -\tfrac12 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 2 + \tfrac12 = \tfrac52.

Resposta

\boxed{y(x) = -\tfrac12\,e^{-x} \;+\;\tfrac52\,e^{\,x^2 - x}.}

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